§5.2. Приклади обчислення робіт.

Р обота сили на скінченому переміщенні, наприклад від точки М₀ до точки М₁ (Рис.5.3) складається з суми елементарних робіт, яка є інтегральною сумою, тобто

де є одна з формул (5.1), (5.2), (5.3), (5.5). Робота сили в загальному випадку залежить від характеру руху точки, до якої вона прикладена.

Є такі сили, робота яких визначається, якщо відомі положення, початкове і кінцеве, точки прикладання сили і не залежать від траєкторії руху точки їх прикладання. Такі сили називаються потенціальними.

До таких належить: сила ваги (сила тяжіння),

сила пружності.

§5.2.1. Робота сили тяжіння (сили ваги).

Нехай точка М, вагою , перемістилась з положення М₀ (x₀, y₀, z₀) в положення М₁ (x₁, y₁, z₁). Визначимо роботу сили ваги на цьому переміщенні. Для цього скористаємось формулою (5.7), де елементарну роботу підставимо з (5.3).

О тримаємо:

де (Z₀ – Z₁) – різниця висот між початковим і кінцевим положенням. Позначимо її .

О статочно

де знак “+” беремо, якщо Z₀ > Z₁, тобто при опусканні точки М, знак “-” при підйомі. Якщо Z₀ = Z₁, то робота дорівнює нулеві. Робота сили не залежить від траєкторії точки М.

§5.2.2. Робота сили пружності.

Р озглянемо вантаж М, що лежить на горизонтальній площині і прикріплений пружиною.

l₀ - довжина недеформованої пружини.

З а законом Гука сила пружності , де с – коефіцієнт жорсткості, його розмірність , x – деформація пружини. Нехай під дією точка М перемістилась з положення М₀ в положення М₁; x₀, x₁ – початкова та кінцева деформація пружини. Тоді скористаємось формулою (5.7), та (5.3):

Ц ей самий результат можна отримати за допомогою графіка залежності F_x від х, бо робота сил пружності є площа трапеції, заштрихованої на Рис.5.7.

Я кщо згадати з курсу „Опір матеріалів” діаграму розтягування стержня, де по осі Ох відкладаємо деформацію, а по осі Оу значення сили пружності, то робота - це буде площа криволінійної трапеції.

§5.2.3. Робота постійної сили.

Н ехай до точки М, що рухається по прямій, прикладена сила під кутом до траєкторії.

Р обота сили на переміщенні M₀M₁ згідно формул (5.2) та (5.7), дорівнює

В залежності від кута робота буде :

- додатньою, якщо 0< <90^о,

- від’ємною, якщо 90^о< <180^o,

- дорівнює нулеві, якщо =90^о.

§5.3. Кінетична енергія.

К інетична енергія механічної системи, яка складається з “n” точок - це арифметична сума кінетичних енергій точок системи.

Знати швидкість кожної точки практично неможливо. Існує теорема, за якою визначається кінетична енергія системи при її складному русі.

§5.3.1. Теорема Кьоніга про кінетичну енергію.

Нехай механічна система здійснює складний рух:

- переносний рух разом з системою координат, що рухається поступально відносно нерухомої системи координат з швидкістю центру мас .

- відносний рух відносно Кьонігової системи координат (розглядали таку систему координат в попередній темі).

О сі O₁ x₁ y₁ z₁– нерухомі,

О сі C x y z – рухаються поступально з швидкістю .

Т оді абсолютна швидкість “к”-ої точки дорівнює

- відносна швидкість “к”-ої точки.

З гідно з (5.11),

Добуток , бо радіус-вектор центру мас відносно центру мас дорівнює нулеві.

М аємо

бо - кінетична енергія системи при її відносному русі.

Теорема Кьоніга.

Кінетична енергія системи при її складному русі, якщо відносний рух – відносно Кьонігової системи координат, дорівнює сумі кінетичних енергій центру мас, в якому зосереджена маса всієї системи, та кінетичної енергії системи при її відносному русі.

Перейдемо до визначення кінетичної енергії твердих тіл, з яких складаються практичні моделі механічних систем.