1.3 Графическое представление иерархической структуры системы

1.3.1 Графы и деревья. Основные понятия, формализация информации в виде матриц смежности и инцидентности.

Материальная система, которая состоит из двух множеств: точек (вершин, узлов, блоков, мест) и линий (связей, рёбер), которые находятся между собой в каком-либо отношении называется графом. Множество точек соответствует множеству вершин

X={X₁, X₂, ..., X_n},

|X| = n - мощность графа.

Множество линий, соединяющих пары вершин, называется множеством ребер или дуг

U={U₁, U₂, ..., U_m},

|U| = m.

Граф, содержащий только ориентированные линии, называется ориентированным графом или орграфом. Граф, содержащий только неориентированные линии, называется неориентированным графом. Граф, у которого существует хотя бы одна пара вершин, соединяемых m ребрами (m >= 2), называется мультиграфом, а наибольшее число m называется мультичислом графа.

Ребра, соединяющие одну и ту же пару вершин, называются кратными. Ребро, соединяющее две вершины называется инцидентным, а вершины инцидентны ребру. Смежными называют две вершины, если есть соединяющее их ребро; два ребра инцидентны одной вершине.

Конечный граф – граф, включающий конечное множество узлов и связей (X и U). Нулевой граф – граф, в котором вершины не соединены ребрами, при этом множество U пустое U = {}. Полный граф - граф, в котором каждая пара вершин соединена ребром.

Степень вершины - число ребер, инцидентных данной вершине. Граф, степени всех вершин которого равны K, называется однородным или регулярным графом степени К. Подграф - часть графа, образованная некоторым подмножеством ребер графа и всеми инцидентными им вершинами. Суграф - часть графа, образованного удалением из исходного графа некоторых ребер.

Квадратная матрица R[n, n] называется матрицей смежности, если ее столбцы и строки образованы вершинами графа (i = 1, … i = n; j = 1, … j = n), а значения в ячейках таблицы R[i, j] показывают наличие связей между вершинами. Если R[i, j] = 1 то X_i смежно с X_j а если вершины не соединены R[i, j] = 0. Если граф неориентированный то R[i, j] =R[j, i].

Прямоугольная матрица S[n, m] называется матрицей инцидентности, если ее строки образованы вершинами графа (i = 1, … i = n), а столбцы - связями (j = 1, … j = m) или наоборот. Элементы в ячейках образуются по правилу S_ij = 1, если связь (ребро) U_j выходит из X_i ; S_ij = - 1, если связь U_j входит в X_i.. Если ребро U_j не связано с вершиной X_i , то S_ij = 0.

1.3.2 Особенности выделения уровней иерархии

Для описания иерархической структуры конкретных систем (изделий) обычно применяются И – деревья. Эти деревья представляют собой совокупность вершин и связывающих их ребер, сгруппированных на различных иерархических уровнях (ярусах). Каждый иерархический уровень представляет собой проектируемую систему с различной степенью детализации. Нулевой иерархический уровень (система) является наиболее абстрактным, а последний – наиболее детализированным.

Количество уровней декомпозиции должно соответствовать поставленной задаче. Минимальная неделимая часть в рамках задачи называется элементом. Дерево не всегда отражает чисто конструктивную декомпозицию объекта.

Применение иерархической декомпозиции помогает формировать словарь предметной области, в которой существует рассматриваемая система, и позволяет выделить базовые понятия (абстракции) предметной области, которые необходимы при ее анализе, в том числе и при создании САПР [3]. Кроме того, на каждом уровне абстракции применяются свои принципы и методики описания системы, соответствующие степени ее декомпозиции.

Таким образом, разбиение объекта находится в рамках блочно - иерархического подхода к структурному описанию объектов. Вершины отображают составные части проектируемого объекта. Рёбра отражают всевозможные связи между вершинами (механические, тепловые, электрические). При создании программных продуктов указывают, например, потоки данных между блоками, модулями. Вершины (элементы) самого нижнего яруса (иерархического уровня) в рамках принятого представления сложной системы – (например автомобиля) называются базовыми элементами или листьями. Таким образом И – дерево является представлением конкретной системы, в котором элементы объединены связями в узлах И, в соответствии с иерархической декомпозицией системы (рис. 8). Поскольку все узлы одинаковы (имеют тип И), их иногда на рисунках не показывают.

Техническое решение для системы, представленной И-деревом, на каждом уровне абстракции включает в себя информацию обо всех элементах системы. Эти элементы представляют собой множество конструктивных решений (деталей, узлов), предназначенных для выполнения функций системы. Дерево И может включать также информацию об особенностях конструктивного исполнения элементов: о геометрической форме, основных признаках и параметрах.