1.1.3. Формы представления чисел.

В цифровых устройствах используются две формы представления чисел: с фиксированной и плавающей точкой.

Числа с фиксированной точкой. В ячейке для хранения числа с фиксированной точкой один разряд используется в качестве знакового, в нем записывается в закодированной форме знак числа: 0 — в случае положительного, 1 — в случае отрицательного числа. Остальные разряды используются для хранения абсолютного значения числа. Точка, отделяющая целую часть числа от ее дробной части, занимает фиксированное положение: часто перед старшим разрядом либо после младшего разряда. В первом случае для всех представляемых в этой форме чисел абсолютное значение меньше единицы. Например, число —0,101101₂ следующим образом разместится в элементах запоминающей ячейки:

1	1	0	1	1	0	1	0	0	0
Знаковый разряд	Разряды модуля числа

Свободные младшие разряды заполняются нулями.

Так как в этом случае предусматривается хранение лишь дробной части числа, то не только исходные данные, но и результаты всех проведенных над ними операций должны быть числами, абсолютное значение которых меньше единицы. Выполнение этого условия обеспечивается выбором определенных масштабных коэффициентов, на которые умножаются исходные данные задачи. Неправильный выбор коэффициентов может вызвать так называемое переполнение разрядной сетки — возникновение ошибки, если в результате выполнения операций в числе образуется целая часть, для хранения которой в разрядной сетке не предусмотрено места, и она теряется.

Необходимость в масштабировании данных составляет один из недостатков представления чисел с фиксированной точкой; другой недостаток этой формы — низкая точность представления чисел, абсолютное значение которых мало (нули в старших разрядах приводят к уменьшению числа разрядов, занимаемых значащей частью числа, и к снижению точности Представ лен и я числа).

Во втором случае, когда точка фиксируется после младшего разряда, числа с фиксированной точкой — целые. Например, число 110112 будет размещено в ячейке памяти следующим образом:

0	0	0	0	0	1	1	0	1	1
Знаковый разряд	Разряды модуля числа

Здесь свободные старшие разряды заполняются нулями.

Если n - число разрядов ячейки, то диапазон модулей представимых в ней целых чисел: 0 ... (2^n-1 — 1).

Числа с плавающей точкой. Форма с плавающей точкой предусматривает представление числа в показательной форме. Например, десятичное число 685, 7310 представляется в форме 0,68573·10³; здесь 0,68573 — мантисса, 10 — основание десятичной системы счисления, 3 — порядок. Двоичное число 0,0001011012 представляется в виде 0,101101·10^-11; здесь 0,101101₂ — мантисса, 10₂ —основание двоичной системы счисления,—11₂ — порядок.

В ячейке памяти такие числа хранятся в виде двух групп цифр: первая группа, называемая мантиссой, определяет само число, вторая группа, называемая порядком,— место точки в числе.

Приведенное выше двоичное число может иметь следующее размещение в элементах запоминающей ячейки:

0	1	0	1	1	0	1	0	0	1	0	1	1
Знаковый разряд числа	Разряд мантиссы								Знаковый разряд порядка	Разряд модуля порядка

Соответствующим выбором значения порядка можно добиться, чтобы старший разряд мантиссы не был равен нулю. При этом образуется так называемая нормальная форма.

Определим диапазон двоичных чисел, которые могут быть представлены в ячейке памяти в нормальной форме. Обозначим k — число разрядов, отведенных в ячейке для хранения абсолютного значения порядка. Положительное число в ячейке будет иметь наименьшее значение, если минимальное значение будет иметь мантисса (все ее разряды, кроме старшего, будут содержать нуль: 0,100 ... 0₂), а порядок будет иметь отрицательный знак и максимальное абсолютное значение (т. е. все разряды модуля порядка будут содержать единицу: 11... 1₂ = 2^k — 1). Таким образом, значение минимального положительного числа в нормальной форме

N_min = 2^{-(2k — 1)} /2 = 2^-2k

Максимальное число в ячейке образуется при максимальном значении мантиссы (когда мантисса содержит во всех разрядах единицу: 0,11 ...1₂ ≈ 1) и положительном порядке, имеющем максимальное значение (т. е. если все разряды порядка содержат единицу: 11 ...1₂= 2^k — 1). Следовательно, максимальное значение числа

N_max = 2^{(2k — 1)}

Итак, диапазон представимых чисел в нормальной форме равен

N_min… N_max = 2^-2k … 2^{(2k — 1)}

Как видим, этот диапазон определяется лишь k.

Если диапазон представимых чисел, как показано выше, определяется числом разрядов, отведенных в ячейке памяти для хранения порядка, то точность представления чисел определяется числом разрядов, выделенных для хранения мантиссы.

Нормальная форма позволяет получать представление чисел в широком диапазоне с одинаковой относительной погрешностью. Использование формы с плавающей точкой позволяет часто обходиться без масштабирования данных. В тех же случаях, когда оно требуется, выбор масштабных коэффициентов не представляет трудностей. Однако выполнение операций над числами с плавающей точкой сложнее, чем над числами с фиксированной точкой.