Оценка погрешности:

; -n ≤ t ≤ 0; x є [x₀;x_n], μ=max│f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)│

С.) «МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ»

Перечислим особенности, на которые надо обратить внимание при выполнении задания по этой теме.

Предполагается, что функция задана в виде таблицы конечного числа точек

хi	х0	х1	…	хn	,
уi	y0	y1	…	yn

например, получена экспериментально, где x_i, y_i (i=1,…,n) – произвольные числа. При этом все

числа x_i различны.

Пусть также имеется некоторая функция , определенная для всех значений x_i (i=1,…,n).

Определение 3. Число Т, где

,

(7)

называется среднеквадратичным (или среднеквадратическим) уклонением функции от заданной .

Наряду с числом Т вводят также вспомогательную величину

.

(8)

Функцию стараются подобрать, чтобы число Т получилось достаточно малым.

Можно предложить следующие способы выбора функции .

Способ 1. , (9)

т.е. - многочлен степени m, при этом m<n.

Способ 2. , здесь - сплайн, т.е. кусочно-полиномиальная гладкая функция.

Способ 3. , (10)

т.е. - частичная сумма ряда Фурье, при этом m – четно и m<n.

Перечисленные способы 1-3 задают для вид приближающей функции , которая, в свою очередь, зависит от коэффициентов (или параметров) a_i. Лучшим набором коэффициентов a_i считается тот, для которого величина w из (8) меньше.

Определение 4. Говорят, что функция найдена для по методу наименьших квадратов (МНК), если она дает минимально возможное значение величины w в соотношении (8).

Примечание. Заметим, что при m=n-1 многочлен , полученный по МНК, совпадает с интерполяционным многочленом и, следовательно, соответствующее среднеквадратичное уклонение (теоретически) равно числу . При использовании в расчетах ЭВМ это уклонение, как правило, получается числом, отличным от нуля.

Рассмотрим в качестве приближающей функции многочлен степени m, который имеет вид

Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами считаются те, для которых сумма квадратов уклонений будет минимальной, т. е.

Т есть функция коэффициентов . Наряду с функцией Т рассматривают функцию S вида:

Очевидно, что S и Т достигают своего минимума в одной точке. Далее для отыскания точки минимума будем рассматривать функцию S, поскольку она удобнее для вычислений.

При данной приближающей функции критерий близости, который используется в методе наименьших квадратов, запишется следующим образом:

		(11)

Используя необходимое условие экстремума функции нескольких переменных, получим систему для определения коэффициентов , где :

(12)

То есть:

(13)

Лекция 3