Найдите для функции f(X) первообразную, график которой проходит через точку м:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Найдите интегралы:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ.
Найдите интегралы:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
Практическая работа № 16.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
Цель: отработать основные методы вычисления определенных интегралов.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ.
Пусть функция f(x)
определена на отрезке
.
Разобьем этот отрезок на n
частей точками
,
выберем на каждом элементарном отрезке
произвольную
точку
и
обозначим через
длину
каждого такого отрезка.
Определение:
Интегральной суммой для функции
f(x)
на отрезке
называется сумма вида
.
Определение:
Определенным
интегралом от функции f(x)
на отрезке
называется предел интегральной суммы
при условии, что длина наибольшего из
элементарных отрезков стремится к нулю:
.
Для любой функции
f(x),
непрерывной на отрезке
,
всегда существует определенный интеграл
.
Для вычисления
определенного интеграла от функции
f(x)
в том случае, когда можно найти
соответствующий неопределенный интеграл
F(x)
, служит формула Ньютона – Лейбница:
,
то есть определенный интеграл равен
разности значений первообразной при
верхнем и нижнем пределах интегрирования.
При вычислении
определенного интеграла методом замены
переменной (способом подстановки)
определенный интеграл
преобразуется с помощью подстановки
в
определенный интеграл относительно
новой переменной
.
При этом старые пределы интегрирования
и
,
которые находятся из исходной подстановки:
,
.
Таким образом, имеем
.
Пример 1. Вычислить
определенный интеграл:
.
Решение:
.
Пример 2. Вычислить
определенный интеграл:
.
Решение:
.
Пример 3. Вычислить
определенный интеграл:
.
.
Пример 4. Вычислить
определенный интеграл:
.
Решение:
.
Пример 5.
Вычислить определенный интеграл:
.
Решение:
положим
,
тогда
,
.
Вычисляем новые пределы интегрирования:
,
.
Поэтому
.
Пример 6.
Вычислить определенный интеграл:
.
Решение:
преобразуем
подкоренное выражение:
.
Положим
,
откуда
.
Найдем новые пределы интегрирования:
,
.
Следовательно,
.
УПРАЖНЕНИЯ.
Вычислить следующие определенные интегралы:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
Практическая работа № 17.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.
Цель: обобщить основные приемы вычисления площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ.
Площадь S
криволинейной трапеции, ограниченной
кривой
,
осью Ох
и двумя прямыми х=а
и х=b,
где
,
(рис. 1) вычисляется по формуле
.
Если
криволинейная трапеция прилегает к оси
Оу так, что
,
(рис. 2), то
.
В том случае, когда
криволинейная трапеция, ограниченная
кривой
,
осью Ох
и прямыми х=а
и х=b,
лежит под осью Ох
(рис. 3), площадь находится по формуле
.
Если фигура,
ограниченная кривой
,
осью Ох
и прямыми х=а
и х=b,
расположена по обе стороны от оси Ох
(рис. 4), то
.
Если фигура S
ограничена двумя пересекающимися
кривыми
и
и прямыми х=а
и х=b,
где
и
(рис.
5). Тогда ее площадь находится по формуле
.
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
Решение:
выполним
построение фигуры (рис. 6). Построим
прямую
:
.
Построим прямую
.
Найдем точку
пересечения прямых, решив систему
уравнений
.
Для вычисления
искомой площади разобьем треугольник
АМС
на два треугольника АМN
и NMC.
Для треугольника АМN
имеем:
то
есть
.
Для треугольника NMC
имеем:
то
есть
.
Вычислим площадь каждого из треугольников
и сложив результаты, находим:
;
УПРАЖНЕНИЯ.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
1)
;
2)
;
3)
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
Практическая работа №18.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ МНОГОГРАННИКОВ.
Цель: рассмотреть основные задачи на вычисление объемов многогранников.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ.
Параллелепипед.
-
объем прямоугольного
параллелепипеда, где a
, b
, c
– три измерения параллелепипеда.
-
объем прямого
параллелепипеда, где Q – площадь основания
параллелепипеда, H – его высота.
Призма.
- объем призмы, где
S
– площадь
основания призмы, h
– высота призмы.
Пирамида.
- объем призмы, где
S
– площадь
основания пирамиды, h
– высота пирамиды.
Усеченная пирамида.
-
объем усеченной пирамиды, где S,
S2
– площади
оснований пирамиды, h
– высота пирамиды.
Пример 1.
-
прямая призма, в основании которой лежит
прямоугольный треугольник (
),
АС=6 см – сторона треугольника,
.
Вычислить площадь полной поверхности
призмы, если ее объм равен 108 см3.
Решение:
1)
,
,
P – периметр основания, H-высота призмы;
;
2) Рассмотрим
-
прямоугольный по условию,
,
следовательно,
-
равнобедренный, BC=AC=6
см.
(см2)
(см2),
,
(см).
3) найдем периметр
основания:
(см).
4) из формулы для
вычисления объема прямой призмы выражаем
высоту призмы и находим ее:
;
(см).
5)
(см2).
6)
(см2).
Ответ:
(см2).