Упражнения.

1. Из точки отстоящей от плоскости на 10 см, проведены две наклонные, составляющие с плоскостью углы 30° и 40°, угол между их проекциями на эту плоскость равен 30°. Найти расстояние между основными наклонными.

2. Точка А удалена от каждой из вершины прямоугольного треугольника на 10 см. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12 см. Найти расстояние от точки А до плоскости треугольника.

Индивидуальные задания.

1.А и В – точки, расположенные по одну сторону плоскости α; АС и ВD – перпендикуляр на эту плоскость; АС = 19 см; BD = 10 см; CD = 12 см. Вычислить расстояние между точками А и В В равнобедренном треугольнике ABC основание BC равно 12 см, боковая сторона 10 см. Из вершины A проведён отрезок AD = 15 см, перпендикулярный плоскости треугольника ABC. Найти расстояние от точки В до стороны ВС.

2. А и В – точки, расположенные по одну сторону плоскости а; АС и BD – перпендикулярны на эту плоскость; AИ = 20 см, АС = 15 см, BD = 15 см. Вычислить расстояние между точками C и D.

3. Катеты прямоугольного треугольника ABC равны 15 и 20 см. Из вершины прямоугольника С проведён отрезок CD, перпендикулярные плоскости этого треугольника; CD = 16 см. Найти расстояние от точки D до гипотенузы АВ.

4. Из точки к данной плоскости проведены две наклонные длиной 8 см каждая; эти наклонные образуют с данной плоскостью углы 30°. Вычислить расстояние между концами наклонных, если угол между проекциями наклонных на эту плоскость равен 120°.

5. Из вершины А прямоугольника АВСD к его плоскости проведён перпендикуляр АМ. Вычислить длину его перпендикуляра, если МВ = 15 см, МС = 24 см, МD = 20 см.

6. Наклонная АМ, проведенная из точки А к данной плоскости, равна d. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой АМ и данной плоскость равен 60⁰.

7. Наклонная АМ, проведенная из точки А к данной плоскости, равна d. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой АМ и данной плоскость равен 30⁰.

Практическая работа № 10. Действия над векторами.

Цель: отработать основные действия над векторами, понятие скалярного произведения.

Методические указания.

Вектором называется направленный отрезок. Вектор, заданный парой несовпадающих точек обозначается символом . Точка называется началом, а точка - концом вектора.

Расстояние называется длиной (модулем) вектора .

Для обозначения векторов употребляются такие строчные математические буквы со стрелкой наверху: .

Вектор , концы которого совпадают, называется нулевым вектором.

Длина нулевого вектора равна нулю. Понятие направления для нулевого вектора не вводится.

Коллинеарные векторы. Два вектора называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Если два ненулевых вектора и коллинеарны, то они могут быть направлены либо одинаково, либо противоположно. В первом случае векторы и называются сонаправленными ( ), во втором- противоположно направленными ( ).

Равенство векторов. Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом, т.е. если существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора.