Упражнения.

1. Вычислить:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ; 7) .

2. Прологарифмировать по основанию 10: 1) ; 2) .

3. Найти х, если 1) ; 2) ; 3) .

Индивидуальные задания.

1. Вычислить:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) .

2. Прологарифмировать:

а) по основанию 10: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

б) по основанию 3: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

3. Найти х, если 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) .

Практическая работа № 6. Решение логарифмических уравнений и неравенств.

Цель: отработать методы решения основных видов логарифмических уравнений и неравенств.

Методические указания.

Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение

Решение логарифмического уравнения вида основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению при дополнительных условиях .

Переход от уравнения к уравнению иногда приводит к появлению посторонних корней. Такие корни можно выявить с помощью подстановки найденных корней в исходное логарифмическое уравнение, либо с помощью нахождения области определения исходного уравнения (эта область задается системой неравенств ).

При решении логарифмических уравнений часто бывает полезен метод введения новой переменной.

При решении уравнений, содержащих переменную и в основании, и в показателе степени, используется метод логарифмирования. Если при этом в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию этого логарифма.

Неравенство, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Неравенство, равносильно системе при и системе при .

При решении логарифмических неравенств следует учитывать общие свойства неравенств, свойство монотонности логарифмической функции и область ее определения.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение: Используя определение логарифма, получим Проверка: при х=1 или 2=2. Ответ: 21.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение: Учитывая, что и используя свойства логарифмов, получим .Последнее уравнение равносильно уравнению , откуда . Проверкой убеждаемся, что - посторонний корень. Ответ: 4.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение: учитывая, что . Исходное уравнение равносильно следующему или . Решая квадратное уравнение относительно , получим или . Откуда Проверкой убеждаемся, что - посторонний корень. Ответ: 10.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение: прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10, получим . Преобразовываем последнее уравнение по свойствам логарифмов, получим . Решая квадратное уравнение относительно , получим или . Откуда . Ответ: 100, 0,1.

Пример 5. Решить неравенство .

Решение: число -2 равно . Поэтому данное неравенство можно переписать в виде . Логарифмическая функция с основанием определена и убывает на , так как . Следовательно, последнему логарифмическому неравенству удовлетворяют такие числа х, для которых выполнено условие , откуда . Ответ: .

Пример 6. Решить неравенство .

Решение: данное неравенство равносильно системе

Решением последней системы является промежуток . Ответ: .

УПРАЖНЕНИЯ.

1. Решить уравнения:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

2. Решить неравенство:

1) ; 2) ; 3) .

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ.

Решить уравнение: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) .

Практическая работа № 7.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ.

Цель: отработать определения и основные свойства тригонометрических функций, методы преобразования логарифмических выражений с помощью основных формул тригонометрии.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ.

Рассмотрим единичную окружность, то есть окружность с центром О и радиусом, равным 1. На единичной окружности отметим точку . При повороте начального радиуса около центра О на угол радиан точка перейдет в некоторую точку .

Синусом угла называется отношение ординаты точки к радиусу окружности, то есть .

Косинусом угла называется отношение абсциссы точки к радиусу окружности, то есть .

Тангенсом угла называется отношение ординаты точки к ее абсциссе, то есть .

Котангенсом угла называется отношение абсциссы точки к ее ординате, то есть .

Знаки значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Основные тригонометрические тождества.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

Формулы сложения двух аргументов тригонометрических функций.

Формулы суммы и разности синусов и косинусов.

Формулы двойного аргумента.

Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов , , , , выражаются через значения , , , .

Для запоминания этих формул удобно пользоваться следующим правилом:

1. при переходе от функций углов , к функции угла название функции изменяется: синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот;

при переходе от функций углов , к функции угла название функции не изменяется.

2. считая острым углом ( ) перед функцией угла ставят знак, какой имеет приводимая функция.

Пример 1. Вычислить значение , если , .

Решение: из основного тригонометрического тождества , , (перед радикалом стоит знак «минус», так как во II четверти ).

Пример 2. Определить знак выражения .

Решение: так как 365⁰ – угол I четверти, в которой положителен, аналогично (I четверть), (III четверть), (IV четверть), (IV четверть).

Пример 3. Упростить выражение . Решение: используя формулы приведения, получим

.

Пример 4. Упростить выражение .

Решение: используя основные тригонометрические тождества, получим .