Практическая работа №1. Построение графиков функций с помощью элементарных преобразований.
Цель: отработать навыки построения графиков известных функций с помощью элементарных преобразований (параллельного переноса, сжатия или растяжения).
Методические указания.
Если известен
график функции
,
то с помощью некоторых преобразований
плоскости (параллельного переноса,
осевой и центральной симметрии и т.п.)
можно построить графики более сложных
функций.
1. График функции
получается параллельным переносом
графика
в отрицательном направлении оси
на
при
>0
и в положительном направлении на
при
<0
(рис. 1).
Рис. 1
Пример 1. Построить
графики функций
и
.
Решение:1)
Построим график функции
(пунктирная
линия на рисунке 2).
2) Выполним параллельный перенос графика функции вправо(в положительном направлении) на 3 единицы. Получим график функции (рис. 2).
3) Выполним параллельный перенос графика функции влево (в отрицательном направлении) на 4 единицы.
П
олучим
график функции
(рис.2)
2. График функции
получается растяжением графика
вдоль оси
в
раз при
Рис. 2
>1
и сжатием вдоль этой оси в
раз при 0<
<1
(рис. 3).
Рис. 3
Пример 2. Построить
график функции
.
Решение:1)
Построим график функции
(пунктирная линия на рисунке 4).
2) Выполним растяжение
построенного графика от оси х
с коэффициентом 2. Получим график функции
(рис. 4).
3) Отобразим построенный график симметрично относительно оси х(рис.4)
3. График функции
получается параллельным переносом
графика
в положительном направлении оси
на
при
и в отрицательном направлении этой оси
на
при
(рис. 5).
Пример 3. Построить
график функции
.
Решение:1)Построим
график функции
(пунктирная
линия на рисунке 6).
2) Выполним параллельный перенос графика функции вверх (в положительном направлении оси ) на 1 единицу. Получим график функции (рис. 6).
Пример 4. Построить
график функции
.
Решение:1)Построим
график функции
(пунктирная линия на рисунке 7).
2) Выполним
параллельный перенос графика функции
влево(в отрицательном направлении) на
2 единицы. Получим график функции
.
(рис.7)
3) Выполним параллельный перенос графика функции вверх (в положительном направлении оси ) на 1 единицу. Получим график функции (рис.7)
УПРАЖНЕНИЯ.
Построить графики функций с помощью элементарных преобразований:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
.
Практическая работа №2.
РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ.
Цель: обобщить и систематизировать умения и навыки решения рациональных неравенств методом интервалов.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ.
При решении
дробно-рационального неравенства
рекомендуется все его члены перенести,
например, в левую часть и, выполнив
указанные действия, представить ее в
виде отношения двух многочленов
,
которые затем каким-либо способом
разлагаем на множители. На практике
находят нули многочлена – числителя
и многочлена – знаменателя
и завершают решение неравенства методом
интервалов.
Решение рациональных
неравенств вида
,
где
и
- многочлены, основано на следующем
свойстве непрерывной функции: если
непрерывная функция обращается в нуль
в точках х1
и х2,
(х1
<х2)
и между этими точками не имеет других
корней, то в промежутке (х1;
х2)
функция сохраняет знак.
Поэтому для
нахождения промежутков знакопостоянства
функции
поступают так. На координатной прямой
отмечают все точки, в которых функция
обращается в нуль или терпит разрыв.
Эти точки разбивают прямую на несколько
промежутков, внутри каждого из которых
функция
непрерывна
и не обращается в нуль, то есть сохраняет
знак. Чтобы определить этот знак,
достаточно найти знак функции в какой-либо
точке рассматриваемого промежутка
координатной прямой.
Пример 1. Решить
неравенство
;
Решение:
многочлен
обращается в нуль в точках х=-3; х=-2; х=0;
х=1. Эти точки разбивают координатную
прямую на промежутки
;
(-3; -2), (-2; 0), (0; 1);
,
внутри каждого из которых функция
сохраняет свой знак. Так как в промежутке
все сомножители положительны, то и их
произведение положительно, то есть
;
в промежутке (0; 1) последний сомножитель
х-1 отрицателен, а остальные три
положительны, то есть
;
в промежутке (-2; 0)
,
в промежутке (-3; -2)
,
наконец, в промежутке
все четыре сомножителя отрицательны,
то есть
.
В результате
выбираем нужные нам промежутки, то есть
те, в которых функция
:
.
Ответ:
.
Пример 2. Решить
неравенство
;
Решение:
многочлен
обращается в нуль в точках х=-1; х=1; х=2.
Эти точки разбивают координатную прямую
на промежутки
;
[-1; 2],
,
внутри каждого из которых функция
сохраняет свой знак. Так как в промежутке
все
сомножители положительны, то и их
произведение положительно, то есть
;
в промежутке [-1; 2] последний сомножитель
(х-2) отрицателен, а первый положителен,
то есть
;
в промежутке
оба сомножителя отрицательны, то есть
.
Ответ:
.
Пример 3. Решить
неравенство
Решение:
при решении
рациональных неравенств, как правило,
предпочитают оставлять в правой части
неравенства только число 0. Поэтому
преобразуем выражение к виду
.
Далее
;
.
Разложим числитель и знаменатель дроби
на
множители. В знаменателе найдем корни
трехчлена
.
Получим неравенство
.
Рассмотрим выражение
.
Числитель этой дроби обращается в 0 в
точке
,
а знаменатель – в точках
и
.
Отметим эти точки на числовой прямой,
которая разбивается указанными точками
на четыре промежутка, причем на каждом
промежутке выражение
сохраняет
постоянный знак. Нас интересуют те
промежутки, на которых выполняется
неравенство
.
По условию, нас интересуют и те точки
х,
в которых выполняется неравенство
.
Такая точка только одна – эта точка
,
так как только при этом значении числитель
дроби обращается в нуль.
Ответ:
.
УПРАЖНЕНИЯ.
Решите неравенства:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ.
Решите неравенства:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
Практическая работа № 3.
РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ.
Цель: отработать основные приемы решения иррациональных уравнений и неравенств.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ.
Уравнение, содержащее переменную под знаком корня, называется иррациональным.
Решение иррационального уравнения основано на преобразовании его к рациональному путем возведения обеих его частей в одну и ту же степень (иногда несколько раз).
Рассмотрим основные методы решения иррациональных уравнений и неравенств на примерах.
Пример 1. Решить
уравнение:
.
Решение:
возведем
обе части уравнения в квадрат
,
,
.
Проверка при
3=3 – верно, при
,
3=3 – верно. Ответ: -4, 4.
Пример 2.
.
Решение:
подкоренные
выражения не должны быть отрицательными
Полученная система неравенств решения
не имеет, следовательно, и исходное
уравнение не имеет решений. Ответ:
решений нет.
Пример 3.
.
Решение:
I
способ. Возведем
обе части уравнения в квадрат
,
.
Возведем обе части последнего уравнения
в квадрат
,
раскрываем скобки, приводим подобные.
Получаем уравнение
,
.
Проверка: при х=5 5=5 – верно, при х=145 29=5
– неверно. Ответ: 5
II
способ.
Исходное уравнение равносильно системе
Решением данной системы является
х=5. Ответ: 5.
Пример 4. Неравенство
вида
сводится
к двум случаям:
если
,
то неравенство равносильно неравенству
;если
,
то решением исходного неравенства
является пустое множество.
1)
,
.
Ответ:
.
2)
.
Решением данного неравенства является
пустое множество, так как ни при каком
значении х корень четной степени не
может быть отрицательным числом.
Пример 5. Неравенство
вида
равносильно
совокупности систем неравенств:
Неравенство
равносильно совокупности следующих
систем:
Решением данной
совокупности является промежуток
Ответ:
Пример 6. Неравенство
вида
равносильно
системе трех неравенств
Неравенство
равносильно следующей системе неравенств
Решением данной
совокупности является промежуток
Ответ:
Пример 7. Неравенство
вида
равносильно
системе неравенств
Неравенство
равносильно следующей системе неравенств
Полученной системе
удовлетворяет
Ответ:
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Решить уравнения:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
2. Решить неравенства:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Индивидуальные задания.
1. Решить уравнения:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
Практическая работа № 4.
РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ.
Цель: отработать методы решения основных видов показательных уравнений и неравенств.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ.
Уравнение, содержащее
переменную в показателе степени,
называется показательным. Простейшим
примером показательного уравнения
служит уравнение
Решение показательного
уравнения вида
основано на том, что это уравнение
равносильно уравнению
.
Уравнение вида
с помощью подстановки
сводится к квадратному уравнению
.
Неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.
Решение показательных
неравенств вида
основано на следующих утверждениях:
- если a>1,
то неравенство
равносильно неравенству
,
так как при a>1
показательная функция возрастает ;
- если 0<a<1,
то неравенство
равносильно неравенству
,
так как при 0<a<1
показательная функция убывает.
Пример 1. Решить
уравнение
.
Решение:
представим
правую часть как
,
получим
, то есть левая и правая части приведены
к одному основанию. Следовательно,
данное уравнение равносильно уравнению
.
Решением данного уравнения являются
.
Ответ: 3, 4.
Пример 2. Решить
уравнение
.
Решение:
вынесем
общий множитель за скобки
,
,
,
,
,
.
Ответ: 4.
Пример 3. Решить
уравнение
.
Решение:
преобразуем
уравнение к виду
.
Положим
.
Тогда данное уравнение примет вид
.
Откуда
.
не
удовлетворяет условию
.
Тогда
и
х=1. Ответ: 1.
Пример 4. Решить
неравенство
.
Решение:
пользуясь
тем, что
,
перепишем заданное неравенство в виде
.
Так как основание
,
то функция
убывает.
Поэтому данное неравенство равносильно
неравенству
,
откуда
.
Ответ:
.
Пример 5. Решить
неравенство
.
Решение:
сделаем
замену
,
тогда неравенство перепишется в виде
.
Решая данное неравенство методом
интервалов, получаем
.
Следовательно, решением данного
неравенства являются числа х,
удовлетворяющие неравенству
.
Так как
,
а функция
убывает,
так как
.
Поэтому решением неравенства
будут числа х, удовлетворяющие неравенствам
.
Ответ:
.
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Решить уравнения:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
2. Решить неравенства:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ.
1. Решить уравнения:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
; 9)
;
10)
.
2. Решить неравенства:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
Практическая работа № 5.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЛОГАРИФМОВ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ.
Цель: закрепить основные свойства логарифмов, отработать методы преобразования логарифмических выражений.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ.
Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить b.
Формулу
называется
основным логарифмическим тождеством.
Основные свойства логарифмов.
При
любом
и любых положительных x
и y
выполнены равенства:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию:
.
Пример 1.
Вычислить
.
Решение:
Пример
2. Вычислить
.
Решение:
Пример
3. Прологарифмировать
по основанию 10
.
Решение:
.
Пример
4. Найдите
х,
если
.
Преобразуем правую часть данного
равенства, пользуясь основными свойствами
логарифмов:
,
то есть
и поэтому
.