Практическая работа № 20 построение сечений многогранников.

Цель: отработать основные приемы построения сечений многогранников.

Методические указания.

Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром и параллелепипедом, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. Под сечением будем понимать любую плоскость (назовем ее секущей плоскостью), по обе стороны от которой имеются точки данной фигуры (то есть тетраэдра или параллелепипеда). Секущая плоскость пересекает тетраэдр (параллелепипед) по отрезкам. Многоугольник, который будет образован этими отрезками, и является сечением фигуры. Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечением могут быть треугольники и четырехугольники (рис. 1).

Рис. 1

Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечением могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники.

При построении сечения параллелепипеда учитываем тот факт, что если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны: если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами тетраэдра (параллелепипеда), после чего остается провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.

Пример 1. На ребрах АВ, BD и CD тетраэдра ABCD отмечены точки M, N, P (рис. 2 а). построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Рис. 2 (а, б, в)

Решение: построим сначала прямую, по которой плоскость MNP пересекается с плоскостью грани ABC. Точка М является общей точкой этих плоскостей. Для построения еще одной общей точки продолжим отрезки NP и ВС до их пересечения в точке Q (рис. 3 б), которая и будет второй общей точкой плоскостей MNP и АВС. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой МЕ. Прямая МЕ пересекает ребро АС в некоторой точке А. четырехугольник MNPQ – искомое сечение.

Если прямые NP и ВС параллельны (рис. 2 в), то прямая параллельна NP грани АВС, поэтому плоскость MNP пересекает эту грань по прямой MQ, параллельной прямой NP. Точка Q, как и в предыдущем случае, есть точка пересечения ребра АС с прямой MQ.

Пример 2. На ребрах параллелепипеда даны три точки А, В, С. Построить сечение параллелепипеда плоскостью АВС.

Решение: построение искомого сечения зависит от того, на каких ребрах параллелепипеда лежат точки А, В, С. В самом простом случае, когда эти точки лежат на ребрах, выходящих из одной вершины (рис. 3 а), нужно провести отрезки АВ, ВС, СА, и получится искомое сечение – треугольник АВС. Если три точки А, В, С расположены так, как показано на рис. 3 б, то сначала нужно провести отрезки АВ и ВС, а затем через точку А провести прямую, параллельную ВС, а через точку С – прямую, параллельную АВ. Пересечения этих прямых с ребрами нижней грани дают точки Е и D. Остается провести отрезок ЕD, и искомое сечение – пятиугольник АВСDЕ.

Более трудный случай, когда данные точки А, В, С расположены так как показано на рис. 3 в. В этом случае поступим так. Сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Для этого проведем прямую АВ и продолжим нижнее ребро, лежащее в той же грани, что и прямая АВ, до пересечения с этой прямой в точке М. далее через точку М проведем прямую, параллельную прямой ВС. Это и есть прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Эта прямая пересекается с ребрами нижнего основания в точках Е и F. Затем через точку Е проведем прямую, параллельную прямой АВ, и получим точку D. Наконец, проводим отрезки АF и СD, и искомое сечение – шестиугольник АВСDEF – построено.

а) б) в)

Рис. 3

Пример 3. В тетраэдре SABC провести сечение плоскостью, проходящей через три точки K, L, M, лежащие соответственно на ребрах SA, SB и АС (прямые KL и АВ не параллельны; рис. 4).

Рис. 4 Рис. 5

Решение: плоскость, проходящую через точки K, L, M обозначим . Плоскость имеет с плоскостью SAB общие точки К и L; поэтому плоскости SAB и пересекаются по прямой KL. Отрезок KL – пересечение грани SAB и плоскости . Аналогично построим отрезок KM.

Плоскость грани АВС имеет с секущей плоскостью общую точку М; для построения линии пересечения этих плоскостей достаточно найти еще одну их общую точку. Такой точкой является точка D пересечения прямых KL и АВ (точка D лежит в плоскости и в плоскости АВС). Проведя прямую MD, получим точку N на ребре ВС. Отрезки MN и NL – две другие стороны сечения. Итак, сечение MKLN – искомое.