4. Геометричні образи лінійних рівнянь

4.1. Загальні рівняння площини і прямої на площині

Теорема. Геометричний образ рівняння першого порядку

(4.1.1)

є площина, і навпаки, задана площина має рівняння вигляду (4.1.1).

Доведення.

I. Перейдемо від афінної системи координат , де поверхня має рівняння (4.1.1), до прямокутної декартової системи координат За теоремою про інваріантність порядку отримаємо рівняння

(4.1.2)

Отже, (4.1.1) і (4.1.2) – рівняння однієї поверхні у різних системах координат. Візьмемо точку . Доведемо, що така точка існує. Оскільки принаймні один з коефіцієнтів не дорівнює 0. Нехай , якщо взяти , , то , . Тоді маємо тотожність

(4.1.3)

Віднімемо від лівої частини рівності (4.1.2) нуль у вигляді тотожності (4.1.3). Рівність (4.1.2) набуде такого вигляду:

(4.1.4)

Нагадаємо, що (4.1.1), (4.1.2), (4.1.4) – це рівняння однієї поверхні . Доведемо, що (4.1.4) є рівняння деякої площини. Для цього побудуємо площину (рис. 4.1.1), що проходить через точку і перпендикулярна вектору .

Рис. 4.1.1

Доведемо, що ця конкретна площина має рівняння (4.1.4). Попередньо необхідно довести виконання двох умов:

1. Координати будь-якої точки M( ), що належить площині, задовольняють рівняння (4.1.4).

Розглянемо .

Вектор площині, тому перпендикулярний до . Отже, ( . Оскільки система координат прямокутна декартова, то вимогу можна записати такому у вигляді:

.

Отже, точка M( ) задовольняє рівняння (4.1.4).

2. Якщо точка не належить площині, то її координати не задовольняють рівняння (4.1.4). Насправді, у цьому випадку вектор не перпендикулярний до вектора , тому ( . Розписавши цю нерівність через координати, отримаємо

.

II. Нехай задано конкретну площину. Доведемо, що вона має рівняння вигляду (4.1.1). Виберемо спеціальним чином систему координат (рис. 4.1.2), щоб вектори належали площині.

Рис. 4.1.2

Зрозуміло, що в даній системі координат ця площина має рівняння

(4.1.5)

Це рівняння є окремим випадком рівняння (4.1.1)

Зауваження 1. Якщо , то . Тоді маємо рівняння вигляду . Для D можуть мати місце два випадки:

1. Якщо , тоді жодна точка не задовольняє дане рівняння, тобто маємо порожню множину.

2. Якщо , тоді будь-яка точка задовольняє наведене рівняння, тобто отримаємо весь простір.

Зауваження 2. Із доведення теореми випливає, що в рівнянні площини у прямокутній декартовій системі координат коефіцієнти А, В, С мають певний геометричний зміст. Вони являють собою координати вектора, перпендикулярного до площини: .

Означення. Вектор, перпендикулярний до площини, називають нормальним.

Теорема. Геометричний образ рівняння на площині є пряма, і навпаки, задана пряма на площині має рівняння попереднього вигляду.

Теорему доводять аналогічно.

У прямокутній декартовій системі координат перші два коефіцієнти – координати вектора, перпендикулярного до заданої прямої, тобто координати одного з нормальних векторів.