1.6. Дослідження многочленів з дійсними коефіцієнтами
Розглянемо многочлен з дійсними коефіцієнтами:
,
де
Теорема.
Якщо
для многочлена
із дійсними коефіцієнтами число α є
комплексним коренем,
то комплексно-спряжене число
є також коренем цього многочлена.
Доведення. За умовою α – корінь многочлена Це означає, що
.
(1.6.1)
Потрібно довести, що
.
З рівності (1.6.1) випливає
=
.
Застосовуючи властивості комплексно-спряжених чисел, отримаємо
,
;
.
Розглянемо довільне дійсне число β у множині комплексних чисел і знайдемо його комплексно-спряжене число
,
.
Отже, дійсне число дорівнює своєму комплексно-спряженому числу. Тоді
.
Отже,
–
корінь.
Теорему доведено.
Теорема. Нехай задано многочлен з дійсними коефіцієнтами, – його комплексний корінь кратності k, тоді число є корінь тієї ж кратності.
Довести цю теорему самостійно (від супротивного).
2. Перетворення координат вектора в разі зміни базису. Перетворення координат точки в разі зміни системи координат
2.1. Перетворення координат вектора
Розширимо поняття векторного простору, визначивши зовнішню операцію над множиною комплексних чисел. Отримаємо комплексний векторний простір.
Задамо в довільному дійсному або комплексному просторі два базиси:
та
.
Розкладемо довільний вектор х за першим і другим базисами:
(2.1.1)
(2.1.2)
Знайдемо
формули зв’язку чисел
із
числами
,
…
.
Для цього розкладемо вектори другого базису за векторами першого:
,
,
(2.1.3)
……………………………………
.
Означення. Матрицею переходу від першого базису до другого називають матрицю, утворену з коефіцієнтів розкладання векторів другого базису за векторами першого базису, записаних у відповідні стовпці:
.
Матриця переходу має бути невироджена, тому що інакше між стовпцями матиме місце лінійна залежність, а тоді вектори другого базису будуть лінійно залежними, що суперечить означенню базису.
Підставимо рівності (2.1.3) у рівність (2.1.2):
або
(2.1.4)
Рівності
(2.1.1) та (2.1.4) –
розкладання
одного й того ж вектора
за одним і тим же базисом. Внаслідок
єдності розкладання маємо
,
,
(2.1.5)
.
Таким чином, ми з’ясували, що "старі" координати вектора можна виразити через "нові" лінійно із застосуванням рядків матриці переходу.
Отримаємо
вираз нових координат вектора через
його старі координати. Запишемо систему
(2.1.5) у матричному вигляді. Розглянемо
матрицю переходу
,
матриці
та
:
,
.
Перемножимо матриці та :
.
Отже,
система (2.1.5) може бути записана
в
матричному вигляді
.
Оскільки
,
то існує матриця, обернена до
,
тоді
Таким чином, "нові" координати можна виразити через "старі" лінійно за допомогою матриці, оберненої до матриці переходу.
2.2. Перетворення координат точки геометричного простору (площини) в разі зміни системи координат
Нехай
у геометричному просторі задано афінну
систему координат
,
деяку довільну точку
,
що має координати
(координати вектора
в
даному базисі). Також нехай задано
систему координат
,
у якій та сама точка
має координати
.
Треба знайти зв’язок між числами
та
тобто зв’язок між координатами.
У ході дослідження мають місце три випадки.
1) Системи координат відрізняються лише початками (рис. 2.2.1):
Рис. 2.2.1
Нехай
у першій системі координат
має
координати
.
За означенням координат маємо
.
З
векторної алгебри маємо
.
,
,
´.
(2.2.1)
Дані формули називають формулами перенесення початку.
2) Системи координат мають спільний початок:
Рис. 2.2.2
За означенням координат точки маємо
,
,
,
.
У
даному випадку задача зводиться до
зв’язку між координатами одного й того
ж вектора
у
різних базисах. Ми розв’язали цю задачу
в n-вимірному
просторі в розділі 2.1. Застосовуючи
формулу 2.1.5, маємо
(2.2.2)
Відповідь отримана через формули (2.2.2).
3)
Загальний випадок (рис. 2.2.3). Системи
координат
,
відрізняються і початками, і базисами.
Побудуємо
допоміжну систему координат
.
Рис. 2.2.3
Нехай точка М у допоміжній системі координат має координати (x*,y*,z*). Розглянемо першу й допоміжну системи координат, вони відрізняються лише початками, ці системи знаходяться в умовах 1-го випадку. Тоді
(2.2.3)
Розглянемо допоміжну й другу системи координат, вони мають спільний початок, ці системи знаходяться в умовах 2-го випадку, тому застосовуючи (2.2.2), одержимо
(2.2.4)
Підставимо рівності (2.2.4) у рівності (2.2.3), одержимо
(2.2.5)