1.4. Основна теорема алгебри

Основна теорема алгебри. Будь-який многочлен зі степенем має принаймні один комплексний корінь.

Традиційне доведення цієї теореми засноване на лемах, які мають самостійне значення. Наведемо їх без доведення.

Лема 1 (лема про вищий член многочлена).

Нехай задано многочлен , і задано число , тоді існує таке число P, що як тільки , то .

Лема 2 (лема про зростання модуля многочлена).

Нехай задано многочлен , і задано число . Тоді існує таке число , що як тільки , то .

Лема 3 (лема Д’Аламбера).

Нехай задано многочлен , і задано число , що не є коренем многочлена Тоді існує таке число , що .

Розглянемо наслідки основної теореми алгебри.

Наслідок 1. Многочлен -го степеня має коренів, де кожен корінь враховуютьтаку кількість разів, яка дорівнює цього кратності.

Доведення. Розглянемо деякий многочлен . Для многочлен має вигляд і очевидно не має жодного кореня, тобто має 0 коренів.

Розглянемо випадок, коли . Тоді за основною теоремою алгебри многочлен має принаймні один корінь .

Застосуємо наслідок з теореми Безу:

.

Якщо степінь , то теорему доведено. Якщо степінь , то застосуємо основну теорему алгебри:

.

Продовжуючи таким чином, отримаємо

.

Отже, наслідок доведено. Зауважимо, що .

Мимохідь ми довели наслідок 2.

Наслідок 2. Будь-який многочлен можна розкласти на лінійні множники в області комплексних чисел.

, де – кратність кореня , .

Наслідок 3. Нехай задано два многочлени і степенів , значення яких збігається в точці, тобто

.

Тоді многочлени і є рівні (у формально-алгебричному сенсі).

Доведення. Припустимо супротивне. Нехай . Тоді утворимо многочлен (при цьому очевидно, що степінь ). Згідно з наслідком 1 основної теореми алгебри многочлен мусить мати не більше, ніж коренів. Але існує точка, яка задовольняє умову . Тому многочлен має корінь. Маємо суперечність, яка і доводить наслідок 3.

Застосовуючи наслідок 3, можна довести еквівалентність двох підходів до поняття рівності многочленів. Раніше ми довели, якщо многочлени рівні у формально-алгебричному сенсі, то вони рівні і в теоретико-функціональному. Доведемо обернене. Степені многочленів є менші за деяке число або дорівнюють йому, а многочлени збігаються в нескінченній множині точок. Виберемо серед них точку і застосуємо наслідок 3 основної теореми алгебри.

1.5. Формули Вієта

Формули Вієта встановлюють зв’язок між коренями многочлена та його коефіцієнтами. Нехай задано многочлен ):

За наслідком 1 даний многочлен має в комплексній області коренів. Нехай – корені многочлена . Тоді за наслідком 2 основної теореми алгебри його можна подати у вигляді

.

Порівняємо коефіцієнти при однакових степенів многочлена:

,

,

..................................................................................................

.

Розглянемо окремий випадок :

.

Згідно з формулами Вієта

,

.

Отримали формули, відомі з шкільного курсу.