Поняття ортогонального оператора

В евклідових просторах крім самоспряжених операторів важливий клас становлять ортогональні оператори.

Означення. Лінійний оператор називають ортогональним, якщо він задовольняє таку умову:

(10.2.8)

– одиничний (тотожний) оператор .

З’ясуємо деякі властивості ортогонального оператора.

Теорема. Ортогональний оператор зберігає скалярний добуток будь-яких векторів евклідового простору .

Доведення. Подіємо ортогональним оператором на довільні вектори х, і розглянемо скалярний добуток образів цих векторів. Тоді з означення спряженого оператора й рівності (10.2.8) маємо

)=(х,у), що й треба було довести. Ця теорема має важливі наслідки.

Наслідок 1. Ортогональний оператор зберігає довжини векторів, тобто .

Наслідок 2. Ортогональний оператор зберігає кут між векторами.

Наслідок 3. Ортогональний оператор зберігає ортогональність векторів.

Із наслідків 1–3 випливає, що ортогональний оператор переводить ортонормований базис в ортонормований.

З’ясуємо питання про матрицю ортогонального оператора в ортонормованому базисі. Нехай ортогональний оператор у базисі

має матрицю

.

Тоді спряжений із ним оператор у цьому ж базисі має матрицю

.

Отже, для ортогонального оператора матриця, обернена до його матриці, дорівнює транспонованій. Крім того, з рівності (10.2.8) і безпосередньо з множення матриць випливають рівності

Таку матрицю називають ортогональною.

Теорема. Матриця переходу від одного ортонормованого до іншого ортонормованого базису є ортогональна.

Доведення. Нехай в евклідовому просторі задано два ортонормовані базиси:

Знайдемо матрицю переходу:

Обчислимо скалярний добуток через координати векторів у першому ортонормованому базисі:

Теорему доведено.

10.3. Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду шляхом переходу до нового ортонормованого базису

Нехай в евклідовому просторі задано квадратичну форму А(х,х). А(х,у) відповідна їй симетрична білінійна форма. Розглянувши ортонормований базис, можна побудувати такі лінійні оператори , що .

Внаслідок симетричності матриці білінійної форми матриця , тому оператор . Отже, оператор самоспряжений.Тоді існує ортонормований базис , складений з власних векторів оператора :

(10.3.1)

Нехай у цьому базисі

.

Враховуючи лінійність оператора , рівність (10.3.1) і ортонормованість, базису, маємо

.

Поклавши в останній рівності у=х, отримаємо

. (10.3.2)

Отже, в евклідовому просторі існує ортонормований базис, у якому квадратична форма має канонічний вигляд (10.3.2).

10.4. Застосування теорії квадратичних форм до поверхонь другого порядку

Припустимо, що в деякій прямокутній системі координат поверхня S має рівняння

Члени другого вимірювання утворюють квадратичну форму. Шляхом переходу до нового ортонормованого базису зведемо цю квадратичну форму до канонічного вигляду:

,

де – власні значення матриці

– ортонормовані власні вектори, що відповідають власним значенням.

Тоді в цьому базисі рівняння поверхні набуває вигляду

. (10.4.1)

Розглянемо три випадки.

1. Жодне не дорівнює нулю.

2. Одне з дорівнює нулю.

3. Два дорівнюють нулю.

1. Нехай . Тоді подамо рівняння (10.4.1) в вигляді

Здійснимо паралельне перенесення осей:

Тоді попереднє рівняння набуває такого вигляду:

(10.4.2)

Із рівняння (10.4.2) випливає, що разом із кожною своєю точкою М поверхня S містить і симетричну точку відносно нового початку. Таку поверхню називають центральною.

Припустимо, що (якщо це не так, помножимо рівняння (10.4.2) на (–1)).

1) Нехай . Тоді можуть мати місце описані нижче випадки.

• Для рівняння (10.4.2) можна записати так:

Це канонічне рівняння еліпсоїда.

• Для рівняння набуває вигляду

Це канонічне рівняння однопорожнинного гіперболоїда.

• Для рівняння (10.4.2) може бути записано у вигляді

Це канонічне рівняння двопорожнинного гіперболоїда.

• Для рівняння (10.4.2) може бути записано у вигляді

Це рівняння не задовольняють координати жодної точки (уявний еліпсоїд).

2) Нехай k=0.

• Якщо мають однаковий знак, то рівняння (10.4.2) може бути записано у вигляді

Це рівняння задовольняє лише одна точка з координатами (уявний конус).

• Якщо має різні знаки (k=0), тоді рівняння (10.4.2) може бути подано у вигляді

Це канонічне рівняння конуса.

2. Одне з дорівнює нулю. Нехай для визначеності . Тоді зробивши перенесення початку системи координат за формулами

зведемо рівняння (10.4.1) до вигляду

(10.4.3)

1) Нехай . Тоді рівняння (10.4.3) має вигляд

(10.4.4) Це рівняння циліндричної поверхні з напрямною, яка в площині x"0 y" має рівняння . Твірна циліндричної поверхні паралельна осі o z".

Залежно від знаків рівняння (10.4.4) може бути або рівнянням еліптичного циліндра або гіперболічного циліндра або порожньою множиною.

2) Нехай . Тоді зробивши перенос початку системи координат за формулами

зведемо рівняння (10.4.4) до вигляду

.

Якщо , то маємо еліптичний параболоїд, якщо – гіперболічний параболоїд.

3. Два дорівнюють нулю. Нехай для визначеності . Тоді рівняння (10.4.1) набуває вигляду

. (10.4.5)

Зробимо перенесення початку системи координат за формулами

Тоді рівняння (10.4.5) можна звести до вигляду

. (10.4.6)

1) Нехай Тоді рівняння (10.4.6) набуває вигляду

.

Якщо то це рівняння пари паралельних площин, якщо с=0 – пари площин, що збігаються, та якщо – пара уявних площин.

2) Нехай принаймні один із коефіцієнтів не дорівнює нулю. Зробимо перехід до нового базису (також ортонормованого) з ортогональною матрицею переходу

Перетворення координат здійснимо за формулами

Тоді рівняння (10.4.6) зведемо до вигляду

.

Шляхом перенесення початку системи координат за формулами

,

зведемо останнє рівняння до рівняння параболічного циліндра:

.