1.2. Ділення многочленів з остачею. Найбільший спільний дільник

Означення. Поділити многочлен на з остачею – це означає знайти пару таких многочленів і , щоб причому або степінь менший за степінь .

Теорема. Для будь-яких многочленів й , де , можливе ділення з остачею, причому і визначають однозначно.

Многочлен називають остачею від ділення многочлена на , – часткою.

Доведіть теорему самостійно.

Означення. Говоритимемо, що многочлен ділиться на многочлен без остачі, якщо (ділення без остачі позначатимемо так: ).

Означення. Спільним дільником многочленів і називають такий многочлен , на який і , і діляться без остачі.

Означення. Найбільшим спільним дільником многочленів і називають такий їх спільний дільник, який ділиться на будь-який їх спільний дільник.

Для подальшого знаходження найбільшого спільного дільника сформулюємо властивості подільності.

1) Якщо , а , то .

Доведення.

,

,

,

Отже, .

2) Якщо і , то (доведіть самостійно).

3) Якщо і , то (доведіть самостійно).

4) Будь-який многочлен ділиться на многочлен нульового степеня.

Доведення.

Нехай і . Подамо у вигляді

. Отже, .

5) Якщо , тоді ; , (доведіть самостійно).

6) Якщо і , то вони відрізняються постійним множником.

Доведення.

Оскільки , то , , . Тоді степінь дорівнює 0 і степінь дорівнює 0. Звідси випливає, що і . Отже, .

Із наведених властивостей випливає, що найбільший спільний дільник визначають не однозначно, а з точністю до постійного множника.

Розглянемо алгоритм знаходження найбільшого спільного дільника. Нехай задано і . Треба знайти найбільший спільний дільник .

Опишемо процес, який називають алгоритмом Евкліда.

Застосуємо до і теорему про ділення з остачею: 1) ; 2) ; 3) (z) (z) + (z); ……… ; ;

1) 2)Поділимо на остачу . Далі поділимо на і так далі. Знайдемо таку остачу , на яку без остачі поділиться попередня остача, тобто . Шукана остача обов’язково існує, тому що степені остач на кожному кроці послідовно знижуються, в "найгіршому" випадку степінь знизиться до нуля, а на многочлен нульового степеня поділиться будь-який многочлен

Доведемо, що – найбільший спільний дільник. За означенням найбільшого спільного дільника треба довести два факти.

1. – спільний дільник, тобто , .

З рівності описаного вище алгоритму Евкліда випливає, що , тоді з рівності маємо . Аналогічно з рівностей (1), (2), (3) маємо , , . Отже, – спільний дільник.

2. – найбільший спільний дільник. Нехай довільний спільний дільник і , треба довести, що . За означенням спільного дільника , . Тоді з рівності (1) випливає – . Із рівності (2) – , з рівності 3) – . Продовжуючи таким же чином, маємо . Отже, ми довели, що – найбільший спільний дільник.

Означення. Многочлени і називають взаємно простими, якщо їх спільним дільником є многочлен нульового степеня (число, не рівне нулю).

Оскільки найбільший спільний дільник визначають з точністю до постійного множника, то найбільший спільний дільник взаємно простих многочленів можна вважати рівним 1.