9. Евклідів простір

9.1. Поняття скалярного добутку

Означення. Говоритимемо, що в дійсному лінійному просторі задано скалярний добуток, якщо будь-якій парі векторів та поставлено у відповідність дійсне число, яке позначають , і виконуються чотири умови:

1. 

2. 

3. 

4. 

Приклади 1. Розглянемо простір геометричних векторів (під вектором розуміють напрямлений відрізок). Скалярний добуток введемо за правилом

Приклад 2. Розглянемо арифметичний простір.

Приклад 3. Розглянемо простір неперервних у проміжку функцій. Скалярний добуток введемо за правилом

Приклад 4. Розглянемо в дійсному просторі симетричну білінійну форму , для якої – додатно визначена. Тоді є скалярний добуток.

Означення. Дійсний лінійний простір називають евклідовим, якщо в ньому задано скалярний добуток.

Вище наведено приклади евклідового простору.

9.2. Основні метричні поняття в евклідовому просторі

В евклідовому просторі введено два основні метричні поняття: довжина вектора і кут між векторами.

Означення. Довжиною вектора у довільному евклідовому просторі називають дійсне число, яке позначається |x| і дорівнює .

За четвертою умовою означення скалярного добутку це означення є коректне.

Означення. Під кутом між двома векторами та в евклідовому просторі розуміють такий кут , що змінюється від 0 до , для якого .

Для коректності цього означення треба довести, що , тобто

,

_– нерівність Коші–Буняковського–Шварца.

Доведення. Розглянемо вектор , де – вектори, – скалярний параметр.

За четвертою умовою означення скалярного добутку . Застосуємо інші умови означення скалярного добутку:

Отримали квадратний тричлен відносно t.

У цьому випадку квадратний тричлен або має два рівні корені, або не має дійсних коренів. Тоді дискримінант . Складемо вираз для дискримінанта:

_.

Отримали нерівність Коші–Буняковського–Шварца.

Означення. Вектори називають ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0.

Звідси випливає, що нульовий вектор ортогональний будь-якому вектору.

Означення. Вектор називають нормованим, якщо він має довжину, рівну 1.

Твердження. Будь-який ненульовий вектор можна пронормувати (множенням на деяке число перетворити на одиничний вектор).

Нехай . Очевидно, що . Потрібно знайти таке , що . Це число дорівнює

Доведення.

.

Означення. Базис називають ортонормованим, якщо він складається із попарно ортогональних нормованих векторів.

Розглянемо вираз скалярного добутку через координати векторів в ортонормованому базисі.

Нехай в евклідовому просторі задано ортонормований базис :

Потрібно знайти . Розкладемо вектори x та у за базисом:

,

,

;

.

Отже, – скалярний добуток в ортонормованому базисі. Звідси

,

9.3. Процес ортогоналізації

Теорема. Система ненульових попарно ортогональних векторів лінійно незалежна.

Доведення. Нехай система векторів складається з ненульових попарно ортогональних векторів, тобто

(9.3.1)

Для з’ясування лінійної незалежності складемо рівність

(9.3.2)

і доведемо, що вона виконується лише один раз за умови, що

.

Розглянемо скалярний добуток:

.

За означенням скалярного добутку маємо

.

Звідси за умови (9.3.1) випливає, що . Оскільки , то . Аналогічно, розглядаючи скалярні добутки , можна довести, що

Опишемо процес ортогоналізації, у результаті якого будь-який базис можна перетворити на ортогональний.

Нехай в евклідовому просторі задано базис Побудуємо на основі цих векторів вектори , такі що задовольняють умову

Візьмемо за вектор вектор . Вектор шукатимемо у вигляді

. (9.3.3)

Число знайдемо з умови .

Тобто

Доведемо, що вектор ненульовий. Припустимо супротивне, що . Тоді з рівності (9.3.3) маємо

Це означає, що існують такі числа , за яких виконується рівність лінійної залежності для векторів , а це неможливо для базисних векторів.

Застосовуючи індукцію, побудуємо за такою схемою (9.3.3) вектори тоді шукатимемо у вигляді

(9.3.4)

Невідомі числа знайдемо з умов

Із цих рівностей і рівності (9.3.4) знаходимо

Доведемо, що отриманий таким чином вектор є ненульовий. Припустимо супротивне, що Тоді, підставивши у рівність (9.3.4) замість їх вирази через (звівши подібні), маємо

Це означає, що вектори – лінійно залежні, що суперечить індуктивному припущенню.

Отже, у результаті описаного процесу ми можемо отримати з будь-якого базису (в евклідовому просторі) систему ненульових попарно ортогональних векторів. Тоді з попередньої теореми випливає, що ми одержали ортогональний базис.

Множенням на число ми перетворимо кожен із векторів отриманого базису на вектор одиничної довжини (зберігаючи при цьому ортогональність).

Таким чином, ми довели, що будь-який базис в евклідовому просторі можна перетворити на ортонормований.