7.2. Характеристична матриця. Характеристичний многочлен. Характеристичні корені матриці
Розглянемо матрицю
.
Означення.
Характеристичною матрицею матриці А
називають матрицю
Е
(
– числовий параметр):
.
Означення. Характеристичним многочленом матриці А називають детермінант її характеристичної матриці.
.
Тобто це є многочлен відносно змінної .
Означення.
Характеристичними коренями матриці
називають корені її характеристичного
многочлена.
Означення.
Дві матриці А
і В
називають
подібними, якщо існує така матриця
(невироджена), що
(або
).
Із останнього означення випливає, що матриці одного й того ж лінійного оператора в двох різних базисах є подібними.
Теорема. Подібні матриці мають однакові характеристичні корені.
Доведення. Нехай задано дві подібні матриці А і В. Тоді за означенням
.
Складемо характеристичну матрицю до
матриці В:
.
Отже,
.
Розглянемо характеристичний многочлен цих матриць:
.
Отже, ми довели, що подібні матриці мають однакові характеристичні многочлени, а тому й однакові характеристичні корені.
7.3. Власні вектори та власні значення лінійного оператора
Нехай
у просторі
діє оператор
.
Означення.
Підпростір
називають інваріантним відносно
оператора
,
якщо для будь-якого вектора
.
Означення. Власним напрямком лінійного оператора називають одновимірний інваріантний відносно оператора підпростір.
Означення. Власним вектором лінійного оператора називають ненульовий вектор, що належить власному напрямку.
Знайдемо інше, більш конструктивне означення власного вектора.
Нехай
– власний напрямок, тоді будь-який
ненульовий вектор х,
що належить
,
буде власним вектором. Оскільки
одновимірний, то до базису цього
підпростору входить один вектор. Візьмемо
за базис будь-який ненульовий вектор
.
Подіємо оператором
на цей вектор
,
(
–
інваріантний підпростір). Тоді
можна розкласти за базисом
(
– поле, над яким визначено
).
Таким чином, можна дати інше означення
власного вектора.
Означення. Власним вектором оператора називають ненульовий вектор , який оператор переводить у пропорційний йому вектор, при цьому коефіцієнт пропорційності називають власним значенням оператора (що відповідає власному вектору ): .
Поставимо задачу про знаходження власних векторів і власних значень лінійного оператора.
Нехай
у просторі
діє
лінійний оператор
.
Треба знайти такий ненульовий вектор
у просторі
,
що задовольняє умову
Задамо
в просторі
базис
.
Тоді невідомий вектор
можна розкласти за базисом:
.
Отже,
задача полягає в знаходженні
.
Нехай
у базисі
оператор
має
матрицю
.
.
Тоді у зв’язку з єдиністю розкладання маємо
Враховуючи формулу (7.1.6), одержимо
,
Звідси отримаємо
(7.3.1)
Маємо однорідну систему рівнянь із невідомими та деяким параметром .
Ми шукаємо координати власного вектора, який за означенням є ненульовий. Тому треба вибрати параметр таким чином, щоб система (7.3.1) мала ненульовий розв’язок. Для цього потрібно, щоб
=
0. (7.3.2)
Звідси виходить,що власні значення лінійного оператора являють собою характеристичні корені його матриці.
Нехай
– один з коренів рівняння (7.3.2).
Знайдемо
власні вектори,що відповідають даному
власному значенню. Для цього підставимо
в систему і отримаємо
(7.3.3)
Зауважимо,що
система (7.3.3) має безліч розв’язків, але
лінійно незалежних серед них
(фундаментальна система).Проведемо
подальше дослідження характеристичного
рівняння. Розглянемо спочатку дійсний
лінійний простір. Можливі наведені
нижче випадки:
1. Рівняння (7.3.2) не має дійсних коренів, а лінійний оператор не має власних значень і власних векторів у дійсному просторі.
2.
Рівняння (7.3.2) має
різних дійсних коренів, тобто
(
),
тоді, розв’язавши систему рівнянь
(7.3.3) для кожного з
,
знайдемо по одному власному вектору.
Позначимо ці вектори
, причому
Лема. Власні вектори, що відповідають різним власним значенням, лінійно незалежні.
Доведення.
Нехай
– лінійний оператор,
,
,
– власні
вектори, що відповідають власним
значенням
,
.
Треба довести, що
є
лінійно незалежні.
Застосуємо
метод математичної індукції. Для
,
твердження очевидне. Зробимо індуктивне
припущення
.
Тобто вважаємо правильним твердження,
що
векторів, які відповідають різним
власним значенням, є лінійно незалежні.
Доведемо дане твердження для
.
Розглянемо власні вектори
.
Припустимо супротивне, що вони лінійно
залежні, тоді виконується рівність
.
(7.3.4)
Нехай
,
подіємо лінійним оператором на вектор
рівності (7.3.4) і отримаємо
.
Оскільки
–
власні вектори, то
.
(7.3.5)
Помножимо
рівність (7.3.4) на (
і додамо до рівності (7.3.5):
Це означає, що лінійно залежні, а це суперечить індуктивному припущенню.
Застосувавши лему, доходимо висновку, що вектори – лінійно незалежні. Оскільки цих векторів , то їх можна взяти за базис. З’ясуємо,яку матрицю має лінійний оператор у новому базисі. Подіємо оператором на цей базис і розкладемо отримані вектори за векторами нового базису:
Отже, у новому базисі із власних векторів оператор має діагональну матрицю, причому на діагоналі знаходяться власні значення:
.
3. Усі власні значення дійсні, але серед них є рівні, тобто характеристичне рівняння має кратні корені.
У
ході розв’язання системи рівнянь
(7.3.3) для кожного
може трапитись, що загалом лінійно
незалежних власних векторів
.
Це пов’язано з тим, що фундаментальна
система містить
розв’язків. Нехай це будуть вектори
.
Оскільки їх
,
то з них можна утворити базис. Тоді, як
і в попередньому випадку, матриця
лінійного оператора в цьому базисі буде
діагональна. Різниця полягає лише в
тому, що елементи по діагоналі можуть
повторюватися стільки разів, скільки
лінійно незалежних власних векторів
відповідає даному
.
Якщо після знаходження фундаментальної системи розв’язків для кожного лінійно незалежних власних векторів менше за , то матрицю лінійного оператора не можна звести до діагонального вигляду.
4. Не всі корені характеристичного рівняння є дійсні, в дійсному просторі не можна скласти базис із власних векторів і не можна звести матрицю лінійного оператора до діагонального вигляду.
Аналогічно дослідивши характеристичне рівняння в комплексному просторі, дійшли висновку, що випадки 1 та 4 неможливі, а випадки 2 і 3 аналізують так само, як у дійсному просторі.