5.5. Спрощення нецентральних кривих

Розглянемо нецентральну криву (5.2.1):

.

Це крива параболічного типу. Її спрощення передбачає два етапи.

1. Поворот осей. Було доведено, що завжди існує поворот на такий кут , за якого в загальному рівнянні кривої зникає член, що містить попарний добуток нових координат. Цей кут можна знайти з рівняння

При цьому, як відомо, координати точки перетворюються за формулами

Тоді в новій системі координат рівняння має вигляд

. (5.5.1)

Доведемо, що в результаті цього перетворення зникає також член, що містить один із квадратів. Розглянемо інваріант :

=

З цього випливає, що одне з чисел дорівнює нулю (за теоремою про інваріантність порядку обидва числа не можуть бути рівні нулю).

Нехай для визначеності Тоді рівняння набуває вигляду

(5.5.2)

Для здійснення другого етапу попередньо отримаємо важливе співвідношення. Знайдемо інваріант у новій системі координат:

.

Обчислимо визначник = - ; Звідси випливає, що тоді й тільки тоді, коли

2. Перенесення початку в деяку точку О’ (рис. 5.5.1).

Рис. 5.5.1

Нехай , тоді

Доповнимо до повного квадрата ліву частину рівняння (5.5.2), поділивши попередньо рівняння на

=2 .

Перенесемо початок у точку О’(0, ) за формулами

Маємо канонічне рівняння параболи .

Нехай інваріант тоді

Рівняння (5.5.2) має вигляд

Доповнимо ліву частину рівняння до повного квадрата:

Перенесемо початок за формулами

Рівняння кривої набуває такого вигляду:

Залежно від значення d мають місце три випадки.

а) .

Отримуємо

У такому разі нецентральна крива вироджується в пару паралельних прямих.

б) . Отримуємо . У цьому випадку крива вироджується в пару прямих, що збігаються.

в) Жодна точка не задовольняє дану рівність. Цей випадок називають парою уявних паралельних прямих.

6. Алгебричні структури

6.1. Поняття групи

Означення. Говоритимемо, що у множині М визначена бінарна внутрішня операція , якщо будь-якій упорядкованій парі елементів х, у множини М можна поставити у відповідність однозначно визначений елемент множини М, який умовно позначають х у. Елемент х у називають композицією елементів х,у.

Означення. Непорожню множину G називають групою, якщо в ній виконуються чотири умови.

1. У G визначена бінарна внутрішня операція , тобто:

.

2. Операція асоціативна .

3. У множині існує так званий нейтральний елемент , тобто такий елемент, для якого .

4. , тобто такий елемент, що x = х=е.

Якщо операцію названо додаванням, то групу називають адитивною.

Якщо операцію названо множенням, то групу називають мультиплікативною.

В адитивній групі нейтральний елемент називають нульовим, а обернений – протилежним.

У мультиплікативній групі нейтральний елемент називають одиницею, а обернений – оберненим.

Означення. Групу називають абелевою або комутативною, якщо групова операція комутативна.

Означення. Порядком групи називають кількість елементів, що входить у групу.

Приклад 1. Множина , у якій за операцію взято операцію додавання, не являє собою групу, оскільки в ній принаймні немає нейтрального елемента відносно додавання.

Множина натуральних чисел не є групою і відносно операції множення через невиконання умови 4.

Приклад 2.

а) Розглянемо множину цілих чисел Усі чотири умови означення групи виконуються. Це є адитивна абелева група нескінченного порядку.

б) Множина Z не є групою відносно множення через невиконання останньої умови означення групи.

Приклад 3.

а) Множина раціональних чисел Множина є адитивна абелева група нескінченного порядку.

б) Множина Q не буде групою відносно множення у зв’язку з тим, що для нуля не існує оберненого елемента.

в) (множина раціональних чисел без нуля) являє собою нескінченну мультиплікативну групу відносно операції множення.

Приклад 4. Множина комплексних чисел відносно додавання є адитивна абелева група нескінченного порядку. Множина комплексних чисел не є групою відносно множення, оскільки для нуля немає оберненого елемента. Але якщо з множини комплексних чисел «вилучити» нуль, вона буде мультиплікативною абелевою групою нескінченного порядку.

Приклад 5. Множина {0} і відносно додавання, і відносно множення являє собою групу першого порядку.

Приклад 6. Розглянемо множину з двох чисел з операцією:

.

– група другого порядку (абелева, мультиплікативна).

Приклад 7. Множина ={ всіх коренів n-го порядку степеня з одиниці = =(cos +isin )) відносно операції множення являє собою групу порядку n. Це випливає з того, що для коренів n-го степеня з одиниці виконуються такі властивості:

1. ;

2. асоціативність множення;

3. ;

4. .

Отриману групу називають мультиплікативною групою коренів -го степеня з одиниці.

Приклад 8. Будь-який векторний простір є групою відносно внутрішньої операції додавання, причому абелевою.

Зауважимо, що:

1) у будь-якій групі існує лише один нейтральний елемент;

2) для будь-якого елемента групи існує лише один обернений елемент.

Дані положення доведіть самостійно.

Означення. Порядком елемента групи називають таке найменше додатне ціле число р, для якого . Якщо такого числа не існує, то елемент х називають елементом нескінченного порядку.

Приклад 9. Розглянемо групу і з’ясуємо порядок елемента , то має порядок 2.

Означення. Підмножину групи називають підгрупою, якщо сама є групою відносно операції . Для того щоб довести, що дана підмножина є підгрупа, треба перевірити лише виконання першої і четвертої умов означення групи.

Будь-яка група має принаймні дві підгрупи: підгрупу, що складається з нейтрального елемента, і всю групу. Ці дві підгрупи називають тривіальними або невласними. Будь-яку підгрупу, що відрізняється від цих двох, називають власною.

Введемо поняття степеня елемента. Природно, що

, x⁰=e.

Від’ємний степінь утворюють двома шляхами:

1) .

2) .

Доведіть самостійно, що .

Доведіть, що підмножина є підгрупа. Цю підгрупу називають циклічною підгрупою, породженою елементом х.

Порядок циклічної підгрупи дорівнює порядку елемента, що породжує цю підгрупу.

Означення. Групу називають циклічною, якщо вона збігається з однією зі своїх циклічних підгруп.

Прикладами циклічних груп є адитивна група цілих чисел і мультиплікативна група коренів n-го степеня з 1.