5.3. Інваріанти кривої другого порядку. Класифікація кривих

Як видно, що в разі повороту осей і перенесення початку коефіцієнти рівняння кривої змінюються, але три величини, пов’язані з коефіцієнтами, залишаються незмінні. Їх називають інваріантами кривої:

;

.

Криві другого порядку класифікують за допомогою інваріанта .

1. Криву другого порядку називають кривою еліптичного типу, якщо .

2. Криву другого порядку називають кривою гіперболічного типу, якщо .

3. Криву другого порядку називають кривою параболічного типу, якщо .

Застосовуючи поняття центра кривої другого порядку, можна класифікувати криві на центральні та нецентральні.

Означення. Точку з координатами ( ) називають центром кривої, якщо її координати задовольняють таку систему рівнянь:

(5.3.1)

Означення. Криву називають центральною, якщо вона має один центр, нецентральною – в інших випадках.

З’ясуємо геометричний зміст центра. Знайдемо рівняння кривої, у випадку перенесення початку системи координат у центр.

Нехай у системі координат Оху крива має рівняння (5.3.1).

У разі перенесення початку

Коефіцієнти рівняння перетворюються за формулами

Отже, якщо перенести початок у центр кривої, то її рівняння набуде такого вигляду:

. (5.3.2)

Доведемо, що ця крива розташована симетрично відносно нового початку (центра кривої). Нехай точка М( ) належить кривій. Покажемо, що рівність (5.3.2) виконується і для точки М( ):

.

Отже, доведено, якщо точка М належить кривій, то й симетрична їй точка відносно центра належить кривій. Тобто крива складається з точок, симетрично розташованих відносно центра.

З’ясуємо умову центральних кривих. Зрозуміло, що система (5.3.1) буде визначена лише за умови rA=n=2, тобто . Це означає, що криві еліптичного й гіперболічного типу центральні, а криві параболічного типу нецентральні.

Знайдемо рівняння кривої, за умови перенесення початку в центр. Для цього обчислимо . Запишемо інваріант .

.

Отже, якщо початок перенесено в центр, то крива набуває такого вигляду:

. (5.3.3)

5.4. Спрощення центральних кривих

Нехай у системі координат Oxy крива має рівняння (5.2.1). Нехай ця крива центральна, тобто . Тоді спрощення має два етапи (рис. 5.4.1):

Рис. 5.4.1

1. Початок системи координат перенесемо в центр. Для цього розв’яжемо систему рівнянь центра:

Перенесемо початок координат у точку центра . Тоді рівняння набуває вигляду (5.3.3).

2) Зробимо поворот осей таким чином, щоб у спрощеному рівнянні не було попарного добутку нових координат. Було доведено, що такий кут завжди існує і є розв’язком:

Тоді відбувається перетворення координат за формулами

Маємо рівняння

. (5.4.1)

Класифікація кривих еліптичного типу

Припустимо, що .

>0.

Припустимо для визначеності, що >0 >0.

Розглянемо випадки .

1) ;

Поділивши обидві частини рівняння (5.4.1) на , отримаємо

рівняння еліпса.

2) , тоді . З рівняння (5.4.1) маємо рівняння уявного еліпса.

Жодна точка не задовольняє це рівняння.

3) .

Дане рівняння задовольняє лише одна точка: Цей випадок називають парою уявних прямих, що перетинаються в дійсній точці.

Класифікація кривих гіперболічного типу

Нехай

<0.

Для визначеності припустимо, що >0; 0.

Розглянемо рівняння (5.4.1) і три такі випадки: .

1) ; . Поділимо на рівняння (5.4.1):

Маємо канонічне рівняння гіперболи.

2) ; .

Поділимо обидві частини рівняння (5.4.1) на

; ;

Маємо гіперболу.

3) Рівняння (5.4.1) набуває такого вигляду:

- + =0.

Отримали сукупність двох лінійних рівнянь:

тобто пару прямих, які перетинаються в центрі.