5. Криві й поверхні другого порядку

5.1. Дослідження кривих і поверхонь другого порядку за їх канонічними рівняннями

Програма курсу передбачає самостійне опрацювання даної теми за наведеним нижче планом.

План

Криві другого порядку

1. Еліпс.

1.1. Означення і виведення канонічного рівняння еліпса – .

1.2. Дослідження форми, ексцентриситету, директрис.

1.3. Полярне рівняння.

2. Гіпербола.

2.1. Означення і виведення канонічного рівняння гіперболи –

2.2. Дослідження форми, ексцентриситету, директрис, асимптот.

2.3. Полярне рівняння.

3. Парабола.

3.1. Означення і виведення канонічного рівняння параболи –

3.2. Дослідження форми, ексцентриситету, директриси.

3.3. Полярне рівняння.

Поверхні другого порядку

1. Еліпсоїд

2. Однопорожнинний гіперболоїд та двопорожнинний гіперболоїд

3. Еліптичний параболоїд та гіперболічний параболоїд

.

4. Конус .

5. Циліндри еліптичний , гіперболічний , параболічний .

5.2. Перетворення рівняння кривої в разі зміни прямокутної системи

Домовимось записувати рівняння кривої другого порядку у вигляді

(5.2.1)

Розглядатимемо лише перехід від однієї прямокутної системи до іншої прямокутної. Як відомо, для таких систем суттєво різними є два перетворення:

• паралельне перенесення початку;

• поворот осей координат.

За вказаних переходів на основі теореми про інваріантність порядку будемо отримувати рівняння такого ж вигляду.

Перетворення рівняння кривої другого порядку в разі перенесення початку

Нехай у прямокутній системі координат O крива має вигляд рівняння (5.2.1), перенесемо початок (рис. 5.2.1). Відомо, що у випадку перенесення початку в точку координати точки перетворюються за правилом

(5.2.2)

У другій системі координат одержимо рівняння

(5.2.3)

Постановка задачі. Знайти зв’язок чисел .

Рис. 5.2.1

Підставимо формули (5.2.2) у рівність (5.2.1):

(5.2.4)

Порівняємо коефіцієнти рівнянь (5.2.4) і (5.2.3).

К оефіцієнт при =

(5.2.5)

(5.2.6)

вільний член

(5.2.7)

Зауважимо, що . Отже, у разі перенесення початку не змінюються коефіцієнти при членах другого вимірювання. Інші коефіцієнти змінюються за формулами (5.2.5), (5.2.6) і (5.2.7).

Перетворення рівняння кривої другого порядку в результаті повороту осей

Нехай у деякій системі координат О, крива має рівняння (5.2.1). Здійснимо поворот осей координат на кут (рис. 5.2.2). Нехай в отриманій системі координат рівняння набуде вигляду (5.2.3). Треба знайти зв’язок між і .

Рис. 5.2.2

Відомо, що внаслідок повороту осей на кут координати точки змінюються за законом

Підставимо ці формули в рівняння (5.2.1):

.

Після розкриття дужок можна переконатися, що коефіцієнти при , , тобто коефіцієнти можуть бути виражені лише через , , , а коефіцієнти при та , тобто коефіцієнти та – лише через , , .

Знайдемо коефіцієнт при .

+2 .

Доведемо, що завжди існує поворот на такий кут , за якого в перетвореному рівнянні (5.2.3) зникає член, що містить , тобто Для цього треба довести, що тригонометричне рівняння

+2 (5.2.8)

має розв’язок. Це рівняння можна записати в такому вигляді:

( )sin2 2 =0,

Розглянемо два випадки для а₁₂:

1. ,тоді . Звідси визначимо кут 2:

2. Якщо , то вже в початковому рівнянні (5.2.1) немає попарного добутку.

Практично поворот на кут краще знаходити іншим способом. Для цього запишемо рівняння (5.2.8) у такому вигляді:

+ =0.

Поділимо його на :

Взагалі існує два розв’язки і . Візьмемо будь-який із них. Позначимо вибраний тангенс через . Тоді для знаходження формули повороту за формулою знайдемо . Маємо два значення для . Виберемо одне зі значень, тоді Таким чином отримаємо формули повороту. Отже, поворот знайдено.