Методы свободных колебаний

Свободные колебания линейной системы с конечным числом степеней свободы описываются матричным уравнением (2.20). Предполагая, что диссипативные силы не связывают главные координаты, общее решение уравнения (2.20) можно записать в виде

В общем случае задача состоит в том, чтобы из суммы тонов колебаний, которые могут возбуждаться в системе, выделить тон, представляющий интерес, и определить его частоту, форму и коэффициент демпфирования.

В простейшем варианте предполагается, что возбуждается только один тон колебаний, и в этом случае выражение (2.24) имеет вид

При использовании рассматриваемого метода колебания системы могут возбуждаться различными способами:

— приложением импульсов;

— заданием начального прогиба;

— возбуждением в резонансе с последующим снятием возбуждения.

Собственные частоты в данном методе обычно определяются по осциллограмме процесса затухания свободных колебаний (рис. 2.15).

Строго говоря, определяется частота σ_r`, а так как демпфирование слабое, то приближенно принимается σ<sub>r</sub>` = σ₂.

Собственные формы находятся путем измерения амплитуд колебаний в различных точках конструкции для одного и того же момента времени.

Коэффициенты демпфирования, так же как и собственные частоты, определяются по осциллограмме затухающих колебаний и вычисляются по следующей формуле:

Коэффициенты демпфирования удобно определять графически с использованием логарифмической шкалы (рис. 2.16).

Если демпфирование линейное, то график представляет собой прямую, тангенс угла наклона которой есть логарифмический декремент колебаний. Следовательно,

При нелинейном демпфировании коэффициент демпфирования определяется в зависимости от амплитуды колебаний по углу наклона касательной к кривой в соответствующих точках.

Преимущество этого метода состоит в том, что при его использовании не требуется устанавливать на конструкцию специальные приспособления, приводящие в той или иной степени к изменению ее вибрационных характеристик из-за присоединения дополнительных масс.

При этом свободные колебания конструкции возбуждаются заданием ее отдельным точкам начальных отклонений или скоростей, что осуществляется путем приложения ударных импульсов различной формы или мгновенного снятия предварительно приложенной статической нагрузки.

Резонансный метод

Данный метод основан на использовании вынужденных колебаний испытуемого объекта. Колебания возбуждаются гармонической силой (или моментом), при этом измеряются амплитуды колебаний в различных точках системы в зависимости от частоты и строятся амплитудные частотные характеристики (или резонансные кривые). Искомые собственные частоты, формы колебаний и коэффициенты демпфирования определяются по резонансным пикам амплитудных характеристик.

Используя теорию вынужденных колебаний линейных систем с конечным числом степеней свободы, предполагаем, что система возбуждается силой , действующей по координате q_j а измеряется координата q_i . Тогда теоретическую амплитудную характеристику для принятой математической модели можно записать в виде модуля комплексного передаточного числа:

Из выражения (2.28) видно, что амплитудная характеристика состоит из отдельных слагаемых, число которых равно числу степеней свободы системы, и каждое слагаемое соответствует определенному тону колебаний.

Если реальная система удовлетворяет принятому допущению, те вынужденные частоты, соответствующие резонансным пикам амплитудных характеристик, могут быть приняты за собственные частота системы, а совокупности амплитуд колебаний различных точек системы при этих частотах — за собственные формы колебаний.

Теоретически определение собственных частот резонансным методом сводится к отысканию частот, при которых |α_ij| достигает максимальных значений и определяется уравнением

Полученные из уравнения (2.29) резонансные частоты принимаются за собственные частоты системы σ. При слабом демпфировании различие между этими частотами пренебрежимо мало.

Собственные формы колебаний η^(r) при использовании данного метода определяются путем измерения амплитуд колебаний в различных точках системы при резонансных частотах, т.е. определяются значения амплитудных характеристик (2.28) при частотах, полученных из уравнения (2.29). Если система возбуждена на резонансной частоте ω_r^* = σ_r, в выражении (2.28) резонансный член примет вид

Так как при измерении амплитуд точка возбуждения колебаний не меняется, резонансный член для любой точки измерения отличается от соответствующей составляющей формы колебаний одним и тем же постоянным множителем. Следовательно, совокупность резонансных членов является собственной формой колебаний. Чистая собственная форма колебаний может быть получена данным методом только в том случае, если нерезонансные члены в (2.28) отсутствуют, В действительности такой идеальный случай не реализуется, следовательно, достоверность форм колебаний, получаемых при использовании резонансного метода, зависит от того, насколько велико влияние нерезонансных тонов колебаний.

Резонансным методом определяют также коэффициенты демпфирования по ширине резонансных пиков. При этом предполагается, что нерезонансные тона колебаний не оказывают существенного влияния.

Коэффициенты демпфирования определяются по следующей формуле:

где ω_r’ и ω_r”, — характерные частоты колебаний, соответствующие пересечению r-го резонансного пика прямой, проведенной параллельно оси абсцисс на расстоянии, равном высоте пика, деленной на (рис. 2.17).

В ели резонансный пик амплитудной характеристики хорошо выражен, то характерные частоты, а следовательно, и искомый коэффициент демпфирования легко определяются. При слабо выраженных резонансных пиках этот простой метод может приводить к значительным ошибкам.

В случаях, когда известна обобщенная масса (или жесткость), коэффициент демпфирования можно определить, зная высоту резонансного пика:

где А*_ri — резонансная амплитуда r-го тона колебаний (высота пика).

Определение коэффициентов демпфирования по формуле (2.32) является более надежным, чем по формуле (2.31).