Задание № 2 Изучение явлений гомоскедастичности и гетероскедастичности Вариант №1

1. Для моделирования гомоскедастичности создать искусственно контролируемую выборку объема , в которой связь между переменными и описывается зависимостью , где ; ошибка имеет нормальное распределение с параметрами и ; ; .

2. С помощью статистической функции MS Excel ЛИНЕЙН найти МНК-оценки и для параметров модели =1 и =3, а также их стандартные ошибки.

3. Построить по выборке корреляционное поле и эмпирическую линию регрессии.

4. Эксперимент, описанный в пунктах 1-2, повторить 20 раз с теми же значениями , но новым набором случайных чисел. Оценки коэффициентов регрессии свести в табл. А, аналогичную табл. 2.4, и представить графически (см. п. 2.6).

5. Для моделирования гетероскедастичности создать искусственно контролируемую выборку объема , в которой связь между переменными и описывается зависимостью , где ; случайная ошибка в каждом наблюдении имеет нормальное распределение с параметрами: и ; ; .

6. С помощью функции ЛИНЕЙН найти МНК-оценки и , а также их стандартные ошибки.

7. Построить корреляционное поле и эмпирическую линию регрессии.

8. Эксперимент, описанный в пунктах 5-6, повторить 20 раз с теми же значениями , но новым набором случайных чисел. Оценки коэффициентов регрессии свести в табл. Б, аналогичную табл. 2.5, и представить графически.

9. Вычислить теоретические стандартные отклонения оценок и в гомоскедастичной модели, сравнить их с соответствующими выборочными стандартными отклонениями и средними стандартными ошибками коэффициентов регрессии.

10. Вывести выражения для теоретических стандартных отклонений и в случае гетероскедастичности указанного вида, сравнить величины и с соответствующими выборочными стандартными отклонениями и средними стандартными ошибками.

11. Провести анализ результатов компьютерного моделирования. Для этого ответить на вопросы:

а) Как визуально различаются корреляционные поля, построенные для случаев гомоскедастичности и гетероскедастичности? Привести характерные примеры.

б) Почему компьютерное моделирование дает всякий раз разные коэффициенты регрессии и ?

в) Как повлияло нарушение второго условия Гаусса-Маркова на свойство несмещенности оценок и ?

г) Как повлияло нарушение второго условия Гаусса-Маркова на свойство эффективности оценок и ?

д) Согласуется ли эмпирически наблюдаемые изменения свойств оценок и вследствие гетероскедастичности с предсказаниями теории?

12. Каковы, по Вашему мнению, могут быть негативные последствия использования стандартных ошибок и в качестве оценок стандартных отклонений и при наличии гетероскедастичности указанного вида?

Вариант №2

1. Для моделирования гомоскедастичности создать искусственно контролируемую выборку объема , в которой связь между переменными и описывается зависимостью , где ; ошибка имеет нормальное распределение с параметрами и ; ; .

2. С помощью статистической функции MS Excel ЛИНЕЙН найти МНК-оценки и для параметров модели =2 и =4, а также их стандартные ошибки.

3. По выборке построить корреляционное поле и эмпирическую линию регрессии.

4. Эксперимент, описанный в пунктах 1-2, повторить 22 раза с теми же значениями , но новым набором случайных чисел. Оценки коэффициентов регрессии свести в табл. А, аналогичную табл. 2.4, и представить графически (см. п. 2.6).

5. Для моделирования гетероскедастичности создать искусственно контролируемую выборку объема , в которой связь между переменными и описывается в каждом наблюдении зависимостью , где ; случайная ошибка имеет нормальное распределение с параметрами: и ; ; .

6. С помощью функции ЛИНЕЙН найти МНК-оценки и , а также их стандартные ошибки.

7. Построить корреляционное поле и эмпирическую линию регрессии.

8. Эксперимент, описанный в пунктах 5-6, повторить 22 раза с теми же значениями , но новым набором случайных чисел. Оценки коэффициентов регрессии свести в табл. Б, аналогичную табл. 2.5, и представить графически.

9. Вычислить теоретические стандартные отклонения оценок и в гомоскедастичной модели, сравнить их с соответствующими выборочными стандартными отклонениями и средними стандартными ошибками.

10. Вывести выражения для теоретических стандартных отклонений и в случае гетероскедастичности указанного вида, сравнить величины и с соответствующими выборочными стандартными отклонениями и среднимии стандартными ошибками.

11. Провести анализ результатов компьютерного моделирования. Для этого ответить на вопросы:

а) Как визуально различаются корреляционные поля, построенные для случаев гомоскедастичности и гетероскедастичности? Привести характерные примеры.

б) Как изменялось отклонение точки наблюдения от эмпирической линии регрессии с ростом номера наблюдения в условиях гетероскедастичности?

в) Подсчитать, в скольких выборках хотя бы один из коэффициентов регрессии был отрицательным. Почему в условиях гетероскедастичности число таких выборок возросло?

г) Найдите размах вариации для эмпирических коэффициентов регрессии. Как можно объяснить увеличение размаха вариации при переходе от гомоскедастичности к гетероскедастичности?

д) Сохранилась ли несмещенность оценок и при нарушении второго условия Гаусса-Маркова?

е) Как повлияло нарушение второго условия Гаусса-Маркова на эффективность оценок и ?

ж) Согласуются ли эмпирически наблюдаемые изменения свойств оценок и вследствие гетероскедастичности с предсказаниями теории?

12. Каковы, по Вашему мнению, могут быть негативные последствия использования стандартных ошибок и в качестве оценок стандартных отклонений и при наличии гетероскедастичности указанного вида?