6. ПрактикУм Упражнения и задачи по дисциплине "эконометрика" Упражнения и задачи к теме "Введение в эконометрику"

1. Доказать, что теоретическая ковариация случайных величин обладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. где – произвольная постоянная;

5. где – произвольная постоянная;

6. ;

7. где – произвольные постоянные.

Указание. Для доказательства необходимо использовать свойства математического ожидания и определение дисперсии случайных величин.

2. Доказать, что выборочная ковариация случайных величин обладает следующими свойствами:

1. ;

2. где – произвольная постоянная;

3. ;

4. , где – произвольная постоянная;

5. , где – произвольные постоянные.

3. Пусть теоретическая ковариация случайных величин и отлична от 0, т.е. . Имеется набор наблюдений , . Известно также, что .

Доказать, что теоретическая ковариация средних выборочных и в раз меньше теоретической ковариации случайных величин и , т.е. .

4. Пусть теоретическая ковариация случайных величин и отлична от 0, т.Е. . Имеется набор наблюдений , . Известно также, что .

Доказать, что выборочная ковариация случайных величин и является заниженной оценкой теоретической ковариации этих случайных величин, так что .

5. Имеются данные по ВВП ( , млрд. у.е.) и доле бюджета страны ( , %), отчисляемой на образование, по 6-ти странам:

	1	2	3	4	6	8
	1	3	9	7	14	14

1. Найти выборочную ковариацию , используя определение и альтернативную формулу для ее вычисления.

2. Найти выборочный коэффициент корреляции .

3. Используя t-критерий, проверить значимость при 5%-ом уровне значимости.

6. Имеются данные по стажу работы ( , лет) и заработной плате ( , у.е.) 6-ти работников:

	1	3	5	7	8	9
	42	30	21	50	60	49

1. Найти выборочную ковариацию , используя определение и альтернативную формулу для ее вычисления.

2. Найти выборочный коэффициент корреляции .

3. Используя t-критерий, проверить значимость при 10%-ом уровне значимости.

7. Имеются следующие данные по группе предприятий о выпуске продукции (Х, тыс. шт.) и себестоимости одного изделия (Y, р.):

	2,0	3,5	4,0	4,5	5,5	6,0
	1,9	1,7	1,8	1,6	1,5	1,4

1. Найти выборочную ковариацию , используя определение и альтернативную формулу для ее вычисления.

2. Найти выборочный коэффициент корреляции .

3. Используя t-критерий, проверить значимость при 5%-ом уровне значимости. Упражнения и задачи к теме "Парный регрессионный анализ"

1. Рассмотрим модель регрессии на константу . Пусть в любых двух наблюдениях случайные компоненты распределены независимо друг от друга, а дисперсия случайной компоненты в каждом наблюдении постоянна и не зависит от номера наблюдения, т.е.

.

1. Найти по МНК оценку параметра .

2. Найти математическое ожидание и дисперсию .

3. Доказать, что

где - остаток регрессии в i-ом наблюдении.

4. Найти .

2. Рассмотрим модель регрессии без свободного члена . Пусть в любых двух наблюдениях случайные компоненты распределены независимо друг от друга, а дисперсия случайной компоненты в каждом наблюдении постоянна и не зависит от номера наблюдения, т.е.

.

1. Найти по МНК оценку параметра .

2. Найти математическое ожидание и дисперсию .

3. Проверить, выполняется ли равенство: ,

где - выборочная средняя расчетных значений зависимой переменной ;

- расчетное значение зависимой переменной в -ом наблюдении, ;

- выборочная средняя наблюдаемых значений .

4. Найти сумму квадратов ошибок , где - остаток регрессии в i-ом наблюдении, .

5. Найти сумму квадратов регрессии .

6. Найти полную вариацию зависимой переменной .

7. Проверить, выполняется ли равенство: .

8. Найти , , .

3. Рассмотрим модель парной линейной регрессии , . Пусть по выборке объема найдены МНК-оценки и теоретических коэффициентов регрессии.

1. Доказать, что , где .

2. Найти выражение для коэффициентов , , если .

4. Пусть , . Проверить справедливость равенств:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

5. Рассмотрим модель парной линейной регрессии , . Пусть и – МНК-оценки параметров и , полученные по выборке объема , а случайная компонента подчиняется следующим условиям: 1) ; 2) ; 3) .

1. Доказать, что и .

2. Найти теоретическую ковариацию .

3. Доказать, что ,

где ; – расчетное значение переменной в -ом наблюдении, .

4. Доказать, что .

6. Рассмотрим модель парной линейной регрессии , . Пусть и – МНК-оценки параметров и , полученные по выборке объема .

1. Доказать, что ,

где – выборочная средняя расчетных значений зависимой переменной ;

– расчетное значение переменной в -ом наблюдении.

2. Проверить равенство:

где – остаток регрессии в i-ом наблюдении.

2. Доказать, что .

7. Рассмотрим модель парной линейной регрессии , . Пусть случайная компонента подчиняется условиям Гаусса Маркова.

1. Найти , и .

2. Проверить, выполняется ли равенство: ,

где – коэффициент детерминации;

– выборочный коэффициент корреляции.

3. Проверить, выполняется ли равенство: ,

где статистика имеет распределение Фишера-Снедекора с и степенями свободы;

статистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

4. Проверить, выполняется ли равенство: .

8. Пусть для модели парной линейной регрессии выполняются все предпосылки МНК; – некоторое фиксированное число; – индивидуальное (прогнозное) значение зависимой переменной, отвечающее ; – расчетное значение зависимой переменной, отвечающее . Доказать, что

1. ;

2. ;

3. .

8. Рассмотрим парную линейную регрессионную модель . По выборке объема n = 32 получены следующие оценки для коэффициентов регрессии: , , а также стандартные ошибки этих оценок . Найти доверительные интервалы для коэффициентов с надежностью .

   10. Рассмотрим парную линейную регрессионную модель . По выборке объема получены следующие оценки для коэффициентов регрессии: , а также стандартные ошибки этих оценок . Найти доверительные интервалы для коэффициентов с надежностью .

   11. Рассмотрим парную линейную регрессионную модель . По выборке объема получены следующие оценки для коэффициентов регрессии: , а также стандартные ошибки этих оценок . Являются ли полученные оценки статистически близкими к 0 при уровне значимости ?

   12. Рассмотрим парную линейную регрессионную модель . По выборке объема получены следующие оценки для коэффициентов регрессии: , а также стандартные ошибки этих оценок . Являются ли полученные оценки статистически близкими к 0 при уровне значимости ?

   13. Рассмотрим парную линейную регрессионную модель . По выборке объема получены следующие оценки для коэффициентов регрессии: и , а также стандартные ошибки этих оценок , . Является ли полученная оценка статистически близкой к числу 10, а оценка статистически близкой к числу –2 при уровне значимости ?

   14. Рассмотрим парную линейную регрессионную модель . По выборке объема получены следующие оценки для коэффициентов регрессии: , а также стандартные ошибки этих оценок . Является ли полученная оценка статистически близкой к числу – 4, а оценка статистически близкой к числу –1,5 при уровне значимости ?

   15. Рассмотрим парную линейную регрессионную модель . По выборке объема n = 30 получены следующие суммы квадратов: и . Найти коэффициент детерминации . Проверить качество регрессионной модели с помощью F-критерия при уровне значимости .

   16. Рассмотрим парную линейную регрессионную модель . По выборке объема n = 23 получены коэффициент детерминации и величина . Найти остаточную сумму квадратов и регрессионную сумму квадратов . Проверить качество регрессионной модели с помощью F-критерия при уровне значимости .

   17. Рассмотрим парную линейную регрессионную модель . По выборке объема получено следующее значение коэффициента детерминации . Проверить качество регрессионной модели с помощью F-критерия при уровне значимости .

   18. Рассмотрим парную линейную регрессионную модель . По выборке объема получены следующие суммы квадратов: и . Найти коэффициент детерминации . Проверить качество регрессионной модели с помощью F-критерия при уровне значимости .

   19. Имеются данные о численности населения X (млн. чел.) и числе вузов Y по 7 регионам:

№ региона	1	2	3	4	5	6	7
X	14,33	15,55	16,22	18,44	20,11	21,77	23,55
Y	7	12	15	16	19	20	24

1. Постройте эмпирическое уравнение регрессии .

2. Вычислите стандартные ошибки коэффициентов регрессии и .

3. Проверьте статистическую значимость эмпирических коэффициентов регрессии и .

4. С надежностью постройте доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии и .

5. Вычислите суммы квадратов , и . Проверьте, выполняется ли равенство: . Вычислите коэффициент детерминации .

6. Проверьте статистическую значимость эмпирического уравнения регрессии с помощью F- критерия .

7. С надежностью постройте доверительный интервал для среднего (ожидаемого) числа вузов, отвечающего численности населения 19 млн. чел.

8. С надежностью постройте доверительный интервал для числа вузов, отвечающего численности населения 19 млн. чел.

20. Имеются следующие данные о количестве безработных Y (%) в зависимости от уровня урбанизации (доли городского населения) X (%) для 6 экономических регионов:

№ региона	1	2	3	4	5	6
X	77,9	69,1	75,7	55,9	73,06	60,71
Y	10,33	15,55	11,22	18,44	14,33	17,21

1. Постройте эмпирическое уравнение регрессии .

2. Вычислите стандартные ошибки коэффициентов регрессии и .

3. Проверьте статистическую значимость эмпирических коэффициентов регрессии и .

4. С надежностью постройте доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии и .

5. Вычислите суммы квадратов , и . Проверьте, выполняется ли равенство: . Вычислите коэффициент детерминации .

6. Проверьте статистическую значимость эмпирического уравнения регрессии с помощью F- критерия .

7. С надежностью постройте доверительный интервал для среднего (ожидаемого) % безработных, отвечающего 65%-ому уровню урбанизации.

8. С надежностью постройте доверительный интервал для % безработных, отвечающего 65%-ому уровню урбанизации.