1 Определение доверительных интервалов

1.1 Краткие теоретические материалы

Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону (закону Гаусса) с математическим ожиданием M и среднеквадратичным отклонением . Математическое ожидание M является истинным значением случайной величины Х.

Определим вероятность неравенства.

(1)

где – оценка математического ожидания; – доверительная вероятность; – ошибка от замены M оценкой

Параметры распределения случайной величины и неизвестны, поэтому решить уравнение (1) невозможно.

Поделим обе части неравенства на ,

где – исправленное среднеквадратическое отклонение, определяемое из опытных данных; – статистическая дисперсия; n – число опытов.

Получим:

(2)

или

Случайная величина Т подчиняется распределению Стьюдента.

Дифференциальная функция распределения имеет вид:

где – гамма-функция

Распределение Стьюдента зависит от числа опытов или, что то же самое, от числа степеней свободы

Распределение Стьюдента позволяет найти решение уравнения (2).

Величина , называемая квантилем распределения Стьюдента, определится из условия

Функция – четная, поэтому

Квантилем, отвечающим заданному уровню вероятности , называют такое значение , при котором функция принимает значение, равное , т. е.

Квантиль t_ находим из таблицы распределения Стьюдента, в зависимости от доверительной вероятности и числа степеней свободы .

Величина , равная половине длины доверительного интервала, определится по формуле

Доверительные интервалы для оценок параметров рассчитываются следующим образом.

1. Задаются доверительной вероятностью . Обычно  = 0,8; 0,9; 0,95; 0,99.

2. Определяется число степеней свободы , где n – число опытов или наблюдений.

3. Из таблицы распределения Стьюдента по заданным r и  находят квантиль .

4. Из опытных данных определяется исправленное среднеквадратическое отклонение:

где

5. Половина длины доверительного интервала определяется по формуле:

6. Доверительный интервал будет:

Пример 1.

При испытании десяти устройств, отказы которых распределены по нормальному закону (или по закону Гаусса), получены следующие значения времени работы до отказа в часах.

Таблица 1 – Значения времени работы до отказа в часах

Т1	Т2	Т3	Т4	Т5	Т6	T7	T8	T9	T10
150	100	70	200	100	100	150	200	80	150

Определить среднее время работы до отказа , для истинного значения найти доверительный интервал с доверительной вероятностью .

1. Среднее время работы до отказа

ч.

2. Число степеней свободы

3. По таблице распределения Стьюдента при r = 9 и  = p() = 0.9 определяем

4. Находим исправленное среднеквадратичное отклонение

Составим следующую таблицу значений.

Таблица 2 – Таблица значений

	20	-30	-60	70	-30	-30	20	70	-50	20
	400	900	3600	4900	900	900	400	4900	2500	400

ч.

5. Половина длины доверительного интервала

ч.

6. Доверительный интервал

Для определения доверительного интервала случайной величины, распределенной по симметричному закону, близкому к нормальному, используется распределение Стьюдента. При несимметричном законе применяют распределение Пирсона или распределение ².

Дифференциальная функция распределения ² имеет вид:

Распределение ² зависит от одного параметра r, называемого числом степеней свободы.

Составлены специальные таблицы распределения ², пользуясь которыми, можно по заданной доверительной вероятности и числу степеней свободы r найти значение квантиля распределения ².

При экспоненциальном законе распределения отказов оценки параметров

, , (3)

где n – число отказов в интервале времени – суммарная наработка.

Для неремонтируемых элементов (объектов)

(4)

где – время исправной работы i-го отказавшего элемента (объекта); N – количество объектов; – время испытаний; n – число отказавших объектов.

В случае, когда испытания проводятся до тех пор, пока не откажут все выставленные на испытания объекты, суммарная наработка

(5)

Для ремонтируемых объектов

(6)

где – длительность испытаний.

Доверительный интервал для интенсивности отказов, в этом случае, находится с помощью таблицы ², в которой параметрами являются доверительная вероятность и число степеней свободы r.

Нижняя и верхняя границы интенсивностей отказов:

, где (7)

, где (8)

В формулах: – квантили распределения при числе степеней свободы

, – коэффициенты.

Пример 2.

При экспоненциальном законе распределения отказов и испытаний n = 10 устройств до выхода их из строя получены следующие значения наработки в часах:

Таблица 3 – Значения наработки в часах

Т1	Т2	Т3	Т4	Т5	Т6	T7	T8	T9	T10
30	50	35	85	100	150	250	300	400	600

Требуется определить: оценку интенсивности отказов , верхнюю и нижнюю доверительные границы  при доверительной вероятности оценку средней наработки до отказа

Решение.

1. ч.

.

2. По таблице распределений для и определим

и найдем по формулам:

;

;

3. ч.

Пример 3.

За время испытаний часов отказало n = 6 устройств из N = 30, поставленных на испытания, причем, отказавшие устройства проработали соответственно 50, 150, 200, 300, 350, 400 часов. Определить оценку , доверительный интервал для при .

Решение.

1. ч.

2. 1/ч.

3. Для и определим