3. Побудова і розрахунок симплекс – таблиці

1). Позначення симплекс – таблиці:

• “Б” – базові змінні;

• “Сб” – коефіцієнти при базових змінних в запису цільової функції;

• “А₀ ( План )” – значення базових змінних;

• (т +1) рядок – значення цільової функції F = · - скалярний добуток двох векторів, а в інших стовпчиках – значення перевірочних елементів .

2). Умова оптимальності задачі ЛП: Δ_ј ≥ 0 - якщо для деякого плану Х^* виконується вимога Δ_ј ≥ 0 , то план Х^* є оптимальним.

Зауваження:

• якщо в останній симплекс – таблиці оцінка Δ_ј = 0 відповідає вільній (небазовій) змінній, то це означає, що задача ЛП має альтернативний оптимальний план;

• якщо при переході від однієї симплекс – таблиці до іншої в напрямному стовпчику немає додатних чисел, тобто неможливо вибрати змінну для виведення з БЗ, то цільова функція є необмеженою та оптимального плану не існує.

• якщо всі оцінки Δ_ј ≥ 0 , але хоча б одна штучна базова змінна є базовою, має додатне значення, то це означає , що система обмежень є несумісною та оптимальних планів не існує.

3). Перерахунок симплекс – таблиці

• напрямний ( розрахунковий ) стовпчик :

відповідає вільній змінній (ВЗ), яка буде замінювати базову змінну (БЗ) у наборі координат плану А₀, обирається за найменшим від`ємним Δ_ј;

• напрямний ( розрахунковий ) рядок:

відповідає базовій змінній (БЗ), яка буде замінювати вільну змінну (ВЗ) у наборі координат плану А₀, обирається за найменшим симплекс–відношенням – відношенням елементів вектора “А₀ (План)” до відповідних додатних елементів із напрямного стовпчика ;

• Жорданові виключення :

- напрямний елемент знаходиться на перехресті напрямних рядка і стовпчика і в новій симплекс – таблиці замінюється на “1”- “напрямну одиницю”;

- всі елементи напрямного рядка діляться на напрямний елемент і записуються в новій симплекс – таблиці у відповідному рядку;

- всі елементи напрямного стовпчика замінюються на “0” (чому?) і записуються в новій симплекс – таблиці у відповідному стовпчику;

- всі інші елементи симплекс – таблиці розраховуються за правилом символічного «визначника 2-го порядку»: головна діагональ “визначника” завжди міститиме “напрямну одиницю” і відповідний елемент даному невідомому у попередній таблиці, а побічна діагональ є добутком відповідних елементів зі старого напрямного стовпчика і нового напрямного рядка.

Б	Сб	А0	А1		А2		А3	А4		А5		А6		сJ
			3		2		0	0		0		0
х3	0	6	1		2		1	0		0		0		6 : 1 = 6
х4	0	8	2		1		0	1		0		0		8 : 2 = 4
х5	0	1	-1		1		0	0		1		0		–
х6	0	2	0		1		0	0		0		1		–
F0 = 0				-3		-2	0		0		0		0
х3	0	2	0		3/2		1	-1/2		0		0		2 : 2/3 = 4/3
х1	3	4	1		1/2		0	1/2		0		0		4 : 1/2 = 8
х5	0	5	0		3/2		0	1/2		1		0		5 : 3/2 = 10/3
х6	0	2	0		1		0	0		0		1		2 : 1 = 2
F1 = 3·4 =12				0		-1/2	0		3/2		0		0

Розв’язок 1-ї с-т: Розв’язок 2-ї с-т:

х₂^*= х₄^* = 0; х₁^*= х₂^* = 0;

х₃^* = 6, х₄^* = 8, х₅^* = 1, х₆^* = 2. х₁^* = 4, х₃^* = 2, х₅^* = 5, х₆^* = 2.