2. Наращение и дисконтирование

2.1 Наращение (компаудинг)

При передаче на определенный срок временно свободных денежных средств их владелец рассчитывает на получение дохода. Величина дохода зависит от величины капитала, предоставляемого в кредит, от срока кредита, от величины процента и способа начисления процентов.

2.1.1 Наращение по схеме простых процентов

При этом способе исходная база для начисления процентов не изменяется. Если в банк сроком на n лет помещена определенная сумма денег под i процентов годовых, то по истечении n лет эта сумма будет составлять:

, где (1)

Буд ∑- будущая сумма, ден.ед.;

Наст ∑- настоящая сумма, ден.ед.;

- простая процентная ставка (годовая), %;

n- количество лет, за которое производится начисление процентов;

Если время начисления процентов выражено в днях, то оно пересчитывается по формуле:

, где t – время в днях; К – число календарных дней в году (365)

Различают три метода процентных расчетов:

1) точные проценты с точным числом дней ссуды («английская практика»)

t – фактическое число дней между датой получения и датой погашения кредита;

К = 365 дней;

Метод применяется в США, Великобритании, Португалии.

2) обыкновенные проценты (К = 360) с точным числом дней ссуды («французская практика»). Метод применяется во Франции, Швейцарии, Бельгии, Испании, Югославии.

3) обыкновенные проценты (К = 360) с приближенным числом дней ссуды («германская практика»).

При определении t количество дней в полном месяце равно 30, а в неполном месяце – точному числу дней ссуды. Метод применяется в Германии, Дании, Швеции.

При точном и приближенном методах начисления процентов день выдачи и день погашения ссуды принимается за один день.

2.1.2 Наращение по схеме сложных процентов

При этом способе исходная база для начисления процентов будет изменяться. Сумма начисленных в каждом периоде процентов добавляется к капиталу предыдущего периода, а начисление процентов в последующем периоде производится на наращенную величину капитала. Этот способ называется начислением «процента на процент» или капитализацией.

В конце первого года будущая сумма будет равна: , где іс – сложная процентная ставка (годовая),%

в конце второго года:

в конце n –го года:

(2)

Если n – дробное число, то более точный (больший) результат, чем при использовании дробной степени, даст применение смешанного способа начисления процентов:

коэффициент наращения - где - целое число; - дробное число.

Если начисление сложных процентов производится несколько раз в году (дискретно), тогда

, где (3)

m – количество периодов в году, за которые начисляются проценты (при ежеквартальном начислении – 4, при ежемесячном – 12)

Эффективный годовой процент (ЭГП) – это годовая ставка при ежегодном начислении процентов, эквивалентная по финансовым последствиям применяемой процентной ставке при начислении процентов за периоды меньше года (номинальная ставка):

(4)

Если применяется непрерывный способ начисления процентов (каждый день), тогда коэффициент наращения определяется по формуле:

, где е = 2,71828 (основание натурального логарифма).

Существует несколько правил, позволяющих быстро рассчитать срок удвоения первоначальной суммы для конкретной процентной ставки:

1) правило «72»

2) правило «69» (более точное)

Приведенные способы применяются при i < 100%, при i > 100% велика погрешность.

2.2 Дисконтирование

Дисконтирование – это способ нахождения некоторой величины при условии, что в будущем при начислении на нее процентов она составит наращенную величину. С помощью дисконтирования в финансовых вычислениях учитывается фактор времени.

Существует 2 способа дисконтирования:

- математический;

- банковский.

2.2.1 Математическое дисконтирование

Математическое дисконтирование – основано на решении задачи, обратной определению будущей суммы денег: какую сумму следует выдать в кредит на n лет, чтобы при начислении на нее процентов по банковской ставке i (ссудный процент) получить определенную будущую сумму денег.

2.2.1.1 Математическое дисконтирование с использованием простого процента

(5)

- коэффициент дисконтирования

2.2.1.2 Математическое дисконтирование с использованием сложного процента

(6)

- коэффициент дисконтирования

Если начисление процентов производится несколько раз в году:

(7)

2.2.2 Банковское дисконтирование

Банковское дисконтирование основано на использовании учетных ставок, т.е. проценты за пользование ссудой начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока ссуды. Учетные ставки применяются чаще для определения настоящей (дисконтированной) суммы долгового обязательства при учете его в банке раньше срока погашения.

2.2.2.1 Банковское дисконтирование с использованием простой учетной ставки

, где (8)

і n у - простая учетная ставка (годовая), %;

n - разность во времени между моментом учета и сроком погашения долгового обязательства, год.

2.2.2.2 Банковское дисконтирование с использованием сложной учетной ставки

, где (9)

і с у - сложная учетная ставка (годовая),%;

n - разность во времени между моментом учета и сроком погашения долгового обязательства, год.

Если дисконтирование по сложной учетной ставке производится несколько раз в году, тогда

(10)

Эффективная сложная учетная ставка – это годовая ставка при ежегодном начислении процентов, эквивалентная по финансовым последствиям применяемой сложной учетной ставке при начислении процентов за периоды меньше года (номинальная ставка):