§ 6. Методи Рунге – Кутта з вищими порядками похибки
Чи існують методи Рунге – Кутта з порядком похибки s = 3, якщо q = 2? Спочатку більш докладно розглянемо підрахунки § 5. При q = 2
уk+1 = yk + p1w1(h) + p2w2(h) = yk + p1h f(xk, yk) + p2h f( , ), де = xk + α2h, = yk + β21h f(xk, yk), φk(h) = уk+1 – у(хk+1) = yk + p1h f(xk, yk) + p2h f( , ) – у(хk + h),
звідки φk(0) = 0. Похідні функції φk(h):
φk´(h) = p1 f(xk, yk) + p2 f( , ) + p2h ( + ) – у´(хk + h) = p1 f(xk, yk) + p2 f( , ) + p2h ( α2 + β21 f(xk, yk)).
φk´´(h)
= 2p2
(
α2
+
β21
f(xk,
yk))
+ p2h
(
α2
+
β21
f(xk,
yk))
– у´´(хk
+ h) = 2p2
(
α2
+
β21
f(xk,
yk))
+ p2h
∙ ((α2)2
+ 2α2β21
(
,
)
f(xk,
yk)
+ (β21)2
(
,
)(
f(xk,
yk))2)
– у´´(хk
+ h),
φk´´´(h)
= 3p2((α2)2
+ 2α2β21
(
,
)
f(xk,
yk)
+ (β21)2
(
,
)(
f(xk,
yk))2)
– у´´´(хk
+ h)
+ О(h).
Оскільки у´´´
=
f
´´ = (
)´
=
+ 2
f +
f 2
+
f ´ =
+ 2
f +
f 2
+
у´´, то
φk´´´(0)
= (3p2(α2)2
– 1)
+ (6p2α2β21
– 2)
(xk,
yk)
+ (3p2(β21)2
– 1)
(xk,
yk)
+
(xk,
yk)
у´´(х). Тоді
у разі рівняння у´
= у згідно з попередньою формулою маємо
φk´´´(0)
= у незалежно від значень параметрів
p1,
p2,
α2,
β21.
Звідси випливає, що не існує формул
Рунге – Кутта з q = 2
і s = 3.
Як і в інших розділах, наприкінці наведемо без доведення результати для більш складних випадків. Спочатку нехай q = 3. Тоді існує вже 8 параметрів: p1, p2, p3, α2, α3, β21, β31, β32. Метод Рунге – Кутта з q = 3 має третій порядок точності (тобто φk(0) = φk´(0) = φk´´(0) = φk´´´(0) = 0) тоді і тільки тоді, коли
α 2 = β21, α3 = β31 + β32, α3(α3 – α2) – β32α2(2 – 3 α2) = 0,
p3β32α2
=
,
p2α2
+ p3α3
=
,
p1
+ p2
+ p3
= 1.
Ця система шести рівнянь з вісьма невідомими має безліч розв’язків. Найбільш поширена така сукупність розрахункових формул:
w1(h)
= h f(xk,
yk),
w2(h)
= h f(xk
+
,
yk
+
),
w3(h) = h f(xk + h, yk – w1(h) + 2w2(h)), уk+1 = yk + p1w1(h) + p2w2(h) + p3w3(h).
Якщо права частина функції f(x, y) не залежить від у, тобто ≡ 0, то ця розрахункова формула перетворюється у формулу Сімпсона:
уk+1
= yk
+
(
f(xk)
+ 4 ∙ f(xk
+
)
+ f(xk
+ h) ).
Розрахункових формул для порядку точності s = 4 з q = 3 не існує. Для порядку точності s = 5 не існує розрахункових формул з q = 4 і q = 5. При q = 4 існує двопараметрична множина розрахункових формул, відповідна порядку точності s = 4. Для прикладу наведемо одно однопараметричне сімейство таких формул:
w1(h) = h f(xk, yk), w2(h) = h f(xk + , yk + ),
w3(h)
= h f(
xk
+
,
yk
+ (
–
)w1(h)
+
w2(h)
) ,
w4(h) = h f(xk + h, yk + (1 – t)w2(h) + tw3(h)),
уk+1
= yk
+
(
w1(h)
+ (4 – 2t)w2(h)
+ 2tw3(h)
+ w4(h)
).
Найбільш застосовуваною є сукупність формул цього сімейства, яка відповідає t = 1:
w1(h) = h f(xk, yk), w2(h) = h f(xk + , yk + ),
w3(h)
= h f(
xk
+
,
yk
+
w2(h)
) , w4(h)
= h f(xk
+ h, yk
+ w3(h)),
уk+1 = yk + ( w1(h) + 2w2(h) + 2w3(h) + w4(h) ).
Треба зазначити, що формулювання “найбільш застосовувана” відповідає історичній тенденції у використанні чисельних методів. Якщо деякий метод виявився прийнятним, то користувачі звикають до нього і неохочі до його заміни на дещо більш ефективний. Крім того, не існує єдиного критерію переваги алгоритму. Наприклад, може виявитися, що метод з меншою похибкою є більш чутливим до обчислювальної похибки. Як правило тому, для заміни “найбільш застосовуваного” методу на інший потрібна суттєва перевага його над попередником.