Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Chiselni_metodi_za_dopomogoyu_Excel.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.04.2025
Размер:
8.81 Mб
Скачать

§ 5. Кратний перерахунок для методів Рунге – Кутта за допомогою Excel

Задача 2. Знайти чисельні розв’язки задачі Коші на відрізку [1; 2] з кроками інтегрування h = 0,1 0,05 методом Рунге – Кутта другого порядку точності по формулам , де , і оцінити похибку отриманого розв’язку методом подвійного перерахунку.

Розв’язання. Оскільки за формулою q = 2, то в такому разі метод Рунге – Кутта має другий порядок точності тоді і тільки тоді, коли його параметри задовольняють (5). Тут , тож α2 = , звідки β21 = , р2 = 1, р1 = 0. Отже, , де , = yk + h f(xk, yk). Це удосконалений метод Ейлера. Кроки інтегрування задамо у чарунках H1, H2: тут H1 = 0,1, H2 = 0,05. Побудуємо електронну таблицю для чисельного розв’язання даної задачі Коші з кроком інтегрування 0,1 по таким формулам. Надамо чарункам таких значень:

A

B

C

1

x

y

w1

2

1

0

= $H$1*(2*A2+3*SIN(B2^2))

3

= A2 + $H$1

= B2 + F2

4

D

E

F

1

x1

y1

w2

2

= A2 + 0,5*$H$1

= B2 + 0,5*C2

=$H$1*(2*D2+3*SIN(E2^2))

3

Тут у стовпці С значення w1(h) = h f(xk, yk), у стовпці F значення w2(h) = h f( , ). Нагадаємо, що формулу у чарунці F2 можна просто скопіювати з чарунки С2. В результаті обрахунків за попередньою таблицею дістанемо:

A

B

C

D

E

F

1

х

у

w1

х1

у1

w2

2

1

0

0,2

1,05

0,1

0,213

3

1,1

0,213

0,233606

1,15

0,329803

0,262567

4

1,2

0,475567

0,307272

1,25

0,629203

0,365691

5

1,3

0,841257

0,455029

1,35

1,068772

0,542874

6

1,4

1,384131

0,56232

1,45

1,665291

0,398036

7

1,5

1,782167

0,289644

1,55

1,926989

0,147683

8

1,6

1,92985

0,154909

1,65

2,007304

0,097318

9

1,7

2,027167

0,092905

1,75

2,07362

0,075162

10

1,8

2,10233

0,072751

1,85

2,138705

0,072866

11

1,9

2,175195

0,080055

1,95

2,215223

0,095675

12

2

2,270871

0,129148

2,05

2,335445

0,188847

Далі можна, як і в задачі 1, скопіювати попередні формули, наприклад у діапазон J1:O3, а потім у чарунках A3, C2, D2, F2 у $H$1 замінити 1 на 2, звідки дістанемо:

J

K

L

1

x

y

w1

2

1

0

= $H$2*(2*J2+3*SIN(K2^2))

3

= J2 + $H$2

= K2 + O2

4

M

N

O

1

x1

y1

w2

2

= J2 + 0,5*$H$2

= K2 + 0,5*L2

= $H$2*(2*M2+3*SIN(N2^2))

3

4

І тоді в результаті обчислень дістанемо:

J

K

L

M

N

O

1

х

у

w1

х1

у1

w2

2

1

0

0,1

1,025

0,05

0,102875

3

1,05

0,102875

0,106587

1,075

0,156169

0,111158

4

1,1

0,214033

0,116869

1,125

0,272467

0,123626

5

1,15

0,337658

0,132065

1,175

0,403691

0,141837

6

1,2

0,479495

0,154184

1,225

0,556588

0,168229

7

1,25

0,647724

0,186102

1,275

0,740775

0,205743

8

1,3

0,853467

0,229852

1,325

0,968393

0,253437

9

1,35

1,106905

0,276133

1,375

1,244971

0,287467

10

1,4

1,394372

0,27966

1,425

1,534202

0,248822

11

1,45

1,643194

0,209095

1,475

1,747742

0,160532

12

1,5

1,803726

0,133259

1,525

1,870356

0,100131

13

1,55

1,903857

0,085324

1,575

1,946519

0,067039

14

1,6

1,970897

0,058542

1,625

2,000168

0,048914

15

1,65

2,019811

0,04404

1,675

2,04183

0,0391

16

1,7

2,058911

0,036488

1,725

2,077155

0,034214

17

1,75

2,093124

0,033153

1,775

2,109701

0,032601

18

1,8

2,125726

0,032805

1,825

2,142128

0,033646

19

1,85

2,159372

0,035184

1,875

2,176964

0,037554

20

1,9

2,196925

0,040975

1,925

2,217413

0,045627

21

1,95

2,242552

0,052457

1,975

2,268781

0,061468

22

2

2,30402

0,075872

2,025

2,341956

0,095061

Оскільки похибка на кожному кроці є систематичною, то найбільшу похибку слід очікувати у кінцевій точці 2. Тому порівняємо тепер наближені значення розв’язку задачі Коші, отримані в задачі удосконаленим методом Ейлера, саме у цій точці за допомогою наступної таблиці для подвійного перерахунку.

A

B

C

D

15

h

y(2)

ε

y(2) уточн.

16

0,1

2,270871

17

0,05

2,30402

0,01105

2,31507

Тут у стовпці А крок інтегрування, у стовпці В наближені значення в точці 2, отримані у попередніх таблицях з відповідним кроком: за позначеннями формули (6) уk = 2,270871, = 2,30402. У С17 підрахована за правилом Рунге (6) похибка ε = – наближення у чарунці В17 ε ≈ , де s – порядок точності методу, в даному разі порядок удосконаленого методу Ейлера s = 2, тобто С17 = (В17 – В16)/3. Виявляється, що і справді знайдена так точність приблизно дорівнює hs = (0,1)2 = 0,01. Як було зазначено у попередньому параграфі, цей підрахунок ε насправді зроблений з точністю порядку hs+1, тобто порядку (0,1)3 = 0,001. Нарешті, у чарунці D17 підраховане уточнене наближення для y(2) за формулою (7) (тобто D17 = В17 + С17) , точність якого вже порядку 10-3. Ця таблиця фактично і є відповіддю задачі 2.

Тепер можна отримати такі ж таблиці, тобто обґрунтовані апостеріорні оцінки і за підрахунками задачі 1. Наближені значення розв’язку задачі Коші порівняємо у кінцевій точці, в даному разі 1, оскільки, саме в ній слід очікувати найбільшу похибку. Спочатку розглянемо таблицю для методу Ейлера.

A

B

C

D

33

h

y(1)

ε

y(1) уточн.

34

0,2

4,60413

35

0,1

5,21682

= B35 – B34

= C35 + B35

36

0,05

5,62838

37

0,025

5,87534

Оскільки порядок точності методу Ейлера дорівнює 1, то правило Рунге, яке застосовано у формулах стовпця С набуває вигляду ε = – уk. У стовпці D обчислюються уточнені наближення точності порядку h2. В результаті дістанемо:

A

B

C

D

33

h

y(1)

ε

y(1) уточн.

34

0,2

4,60413

35

0,1

5,21682

0,6127

5,829521

36

0,05

5,62838

0,41156

6,039943

37

0,025

5,87534

0,24696

6,122296

Порівняння останніх наближень дає 6,122296 – 6,039943 = 0,082353, що вже значно менше похибок не уточнених наближень. Таблиця удосконаленого методу Ейлера:

A

B

C

D

40

h

y(1)

ε

y(1) уточн.

41

5,93258

42

6,09164

0,15906

= (B42 – B41)/3

= C42 + B42

43

6,14066

0,04901

44

6,15418

0,01352

Тут правило Рунге має вигляд ε ≈ ( – уk)/3, як і в задачі 2 (бо порядок точності s = 2). В результаті дістанемо:

A

B

C

D

40

h

y(1)

ε

y(1) уточн.

41

0,2

5,93258

42

0,1

6,09164

0,053021

6,144665333

43

0,05

6,14066

0,016338

6,156994667

44

0,025

6,15418

0,004506

6,158681

Порівняння останніх наближень дає 6,158681 – 6,156994667 = 0,000241 – перевага удосконаленого методу Ейлера у точності результатів тут є безперечною.

Задача 3. Знайти чисельний розв’язок задачі Коші на відрізку [0; 1] методом Рунге – Кутта другого порядку точності за формулою , де з точністю 10-4, оціненою методом кратного перерахунку.

Розв’язання. Оскільки за формулою методу q = 2, то метод Рунге – Кутта має другий порядок точності тоді і тільки тоді, коли його параметри задовольняють (5). За умовою тут α2 = , звідки β21 = , р2 = , р1 = . Отже, , де , = yk + h f(xk, yk). Спочатку задамо кроки інтегрування 0,2 0,1 0,05 0,025 у чарунках H1:H4, знайдемо чисельні розв’язки для таких кроків і оцінимо їх методом кратного перерахунку. Якщо потрібна точність не буде досягнута, то крок буде зменшено. Отже, аналогічно задачі 2, надамо чарункам таких значень:

A

B

C

1

x

y

w1

2

0

1

= $H$1*(SIN(0,5*A2+2*B2^2)+1,5*B2)

3

= A2 + $H$1

= B2 + 1/4*C2 + 3/4*F2

4

D

E

F

1

x1

y1

w2

2

= A2 + 2/3*$H$1

= B2 + 2/3*C2

= $H$1*(SIN(0,5*D2+2*E2^2)+1,5*E2)

3

4

В результаті дістанемо:

A

B

C

D

E

F

1

х

у

w1

х1

у1

w2

2

0

1

0,481859

0,133333

1,32124

0,315474

3

0,2

1,35707

0,287412

0,333333

1,548678

0,270875

4

0,4

1,632079

0,352446

0,533333

1,867043

0,723397

5

0,6

2,262738

0,499223

0,733333

2,595553

0,969927

6

0,8

3,114989

1,097962

0,933333

3,846964

0,958901

7

1

4,108655

1,290827

1,133333

4,969206

1,429217

Далі, як і в попередніх задачах, скопіюємо А2:F3 у будь – які вільні від інформації діапазони, а потім у відповідних чарунках у $H$1 замінимо 1 на 2, 3 або 4. Наприклад,

J

K

L

1

x

y

w1

2

0

1

= $H$2*(SIN(0,5*J2+2*K2^2)+1,5*K2)

3

= J2 + $H$2

=K2+1/4*L2+3/4*O2

4

M

N

O

1

x1

y1

w2

2

= J2 + 2/3*$H$2

= K2 + 2/3*L2

= $H$2*(SIN(0,5*M2+2*N2^2)+1,5*N2)

3

Тоді в результаті обчислень дістанемо:

J

K

L

M

N

O

1

х

у

w1

х1

у1

w2

2

0

1

0,24093

0,066667

1,16062

0,214337

3

0,1

1,220985

0,194124

0,166667

1,350401

0,147015

4

0,2

1,379777

0,137642

0,266667

1,471539

0,123795

5

0,3

1,507034

0,126075

0,366667

1,591085

0,152587

6

0,4

1,652994

0,189975

0,466667

1,779644

0,295006

7

0,5

1,921742

0,385899

0,566667

2,179008

0,29212

8

0,6

2,237306

0,258122

0,666667

2,409388

0,303082

9

0,7

2,529148

0,433908

0,766667

2,81842

0,369445

10

0,8

2,914709

0,337836

0,866667

3,139933

0,567403

11

0,9

3,42472

0,419617

0,966667

3,704465

0,589478

12

1

3,971733

0,654949

1,066667

4,408366

0,760401

Так само дістанемо чисельні розв’язки для кроків h = 0,05 у чарунці H3 і h = 0,025 у H4. За цими обрахунками створимо наступну електронну таблицю кратного перерахунку. Як і вище, оцінку похибки будемо проводити у кінцевій точці, в даному разі 1, оскільки саме в ній слід очікувати найбільшу похибку.

H

I

J

K

L

34

№ перерахунку

1

2

35

h

y(1)

ε

y(1)

ε

36

0,2

4,108655

37

0,1

3,971733

= 1/3*(I37–I36)

= I37+J37

38

0,05

4,056332

= 1/7*(K38–K37)

39

0,025

4,051298

Тут у стовпці H крок інтегрування, у стовпці I наближені значення в точці 1, отримані при попередніх підрахунках з відповідним кроком, у стовпці J похибка ε, підрахована за правилом Рунге (6) ε ≈ , де s – порядок точності методу. В даному разі 2s – 1 = 3, бо s = 2. На цьому закінчився перший (подвійний) перерахунок. У стовпці К знаходимо уточнені наближення порядку точності 3 за формулою (7), у стовпці L їх оцінки ε знову за правилом Рунге ε ≈ , але тепер 2s – 1 = 7, бо s = 3. У сукупності це другий (подвійний) перерахунок. Далі аналогічно проводимо третій перерахунок: із зростанням номеру перерахунку N на одиницю порядок точності методу s завжди теж зростає на одиницю, отже тут s = 4, 2s – 1 = 15:

M

N

O

P

34

1

2

35

y(1)

ε

y(1)

ε

36

37

38

= K38 + L38

39

= 1/15*(M39 – M38)

= M39 + N39

В результаті отримаємо таку трикутну таблицю (матрицю):

H

I

J

K

L

M

N

O

34

1

2

3

4

35

h

y(1)

ε

y(1)

ε

y(1)

ε

y(1)

36

0,2

4,108655

37

0,1

3,971733

-0,04564

3,926093

38

0,05

4,056332

0,0282

4,084532

0,022634

4,107166

39

0,025

4,051298

-0,00168

4,04962

-0,00499

4,044633

-0,00417

4,040464

Згідно з отриманими апостеріорними оцінками тут всі наближення мають якнайбільше три значущих цифри, що є недостатньою точністю за умовою задачі. Отже, знайдемо чисельний розв’язок даної задачі Коші з кроком інтегрування h = 0,0125 і додамо до таблиці кратного перерахунку отримане значення у(1). За підрахунками:

H

I

J

K

L

M

45

х

у

w1

х1

у1

w2

46

0

1

0,030116

0,008333

1,020077

0,030008

47

0,0125

1,030035

0,029921

0,020833

1,049983

0,029679

48

0,025

1,059775

0,029528

0,033333

1,07946

0,029158

49

0,0375

1,089026

0,028948

0,045833

1,108324

0,028464

50

0,05

1,117611

0,028203

0,058333

1,136412

0,027622

51

0,0625

1,145378

0,027321

0,070833

1,163592

0,026665

52

0,075

1,172207

0,026335

0,083333

1,189764

0,025628

53

0,0875

1,198012

0,025281

0,095833

1,214866

0,024546

54

0,1

1,222742

0,024192

0,108333

1,23887

0,023452

……………………………………………………………………

118

0,9

3,493643

0,062152

0,908333

3,535077

0,070155

119

0,9125

3,561797

0,074801

0,920833

3,611664

0,080069

120

0,925

3,640549

0,08032

0,933333

3,694096

0,075421

121

0,9375

3,717195

0,071818

0,945833

3,765074

0,06406

122

0,95

3,783194

0,061746

0,958333

3,824359

0,059289

123

0,9625

3,843097

0,059749

0,970833

3,88293

0,064048

124

0,975

3,90607

0,068214

0,983333

3,951547

0,077847

125

0,9875

3,981509

0,083468

0,995833

4,037155

0,088123

126

1

4,068469

0,086471

1,008333

4,126116

0,077411

Отже, достатньо занести отримане значення у(1) = 4,068469 у чарунку I40 поряд з відповідним значенням кроку h = 0,0125 у чарунці H40, решту формул у стовпцях J:O можна просто скопіювати:

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

34

1

2

3

4

5

35

h

y(1)

ε

y(1)

ε

y(1)

ε

y(1)

ε

y(1)

ε

36

0,2

4,108655

37

0,1

3,971733

*

*

38

0,05

4,056332

*

*

39

0,025

4,051298

*

*

40

0,0125

4,068469

=(O40-O39)/31

=O40+P40

Тут символ * означає, що у відповідній чарунці знаходиться та ж сама формула, що й у попередній таблиці. Для N = 4 s = 5, 2s – 1 = 31, тому Р40 = (O40 – O39)/31. В результаті отримаємо таку трикутну таблицю:

H

I

J

K

L

34

1

2

35

h

y(1)

ε

y(1)

ε

36

0,2

4,108655

37

0,1

3,971733

-0,04564

3,926093

38

0,05

4,056332

0,0282

4,084532

0,022634

39

0,025

4,051298

-0,00168

4,04962

-0,00499

40

0,0125

4,068469

0,005724

4,074192

0,00351

M

N

O

P

Q

34

3

4

5

35

y(1)

ε

y(1)

ε

y(1)

36

37

38

4,107166

39

4,044633

-0,00417

4,040464

40

4,077703

0,002205

4,079907

0,001272

4,08118

На четвертому перерахунку наближення досягло вже чотирьох значущих цифр, проте точності 10-4, яку вимагає умова задачі, ще не досягнуто. Тому знайдемо ще й чисельний розв’язок даної задачі Коші з кроком інтегрування h = 0,0125 і отримане значення у(1) додамо до таблиці кратного перерахунку. За підрахунками:

A

B

C

D

E

F

203

х

у

w1

х1

у1

w2

204

0,95

3,786632

0,030691

0,954167

3,807093

0,029888

205

0,95625

3,816721

0,0297

0,960417

3,83652

0,029734

206

0,9625

3,846446

0,02997

0,966667

3,866426

0,030876

207

0,96875

3,877096

0,03158

0,972917

3,898149

0,033341

208

0,975

3,909996

0,0345

0,979167

3,932996

0,036938

209

0,98125

3,946325

0,038371

0,985417

3,971905

0,040913

210

0,9875

3,986602

0,042126

0,991667

4,014686

0,043685

211

0,99375

4,029897

0,04403

0,997917

4,05925

0,043635

212

1

4,073631

0,042962

1,004167

4,102272

0,040882

Отже, отримане значення у(1) = 4,068469 заносимо до таблиці кратного перерахунку. В результаті отримаємо таку таблицю:

H

I

J

K

L

34

1

2

35

h

y(1)

ε

y(1)

ε

36

0,2

4,108655

37

0,1

3,971733

-0,04564

3,926093

38

0,05

4,056332

0,0282

4,084532

0,022634

39

0,025

4,051298

-0,00168

4,04962

-0,00499

40

0,0125

4,068469

0,005724

4,074192

0,00351

41

0,00625

4,073631

0,001721

4,075352

0,000166

M

N

O

P

Q

R

S

34

3

4

5

6

35

y(1)

ε

y(1)

ε

y(1)

ε

y(1)

36

37

38

4,107166

39

4,044633

-0,00417

4,040464

40

4,077703

0,002205

4,079907

0,001272

4,08118

41

4,075518

-0,00015

4,075372

-0,00015

4,075226

-9,45052E-05

4,075131

Як бачимо, тепер необхідна точність досягнута вже на другому перерахунку. Проте, як було доведено і видно з формули (13), отримані оцінки самі є наближеними числами і тому не можна виключати, що при наступному перерахунку оцінка зросте. У такому разі отримана на попередньому перерахунку величина не є достовірною. У даному прикладі цього не сталося, отже значення 4,075226 або 4,075131 можна вважати отриманими з точністю 10-4, з чотирма вірними значущими цифрами.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]