§ 2. Метод Ейлера за допомогою Excel
У наступній задачі дістанемо чисельні розв’язки деякої задачі Коші спочатку методом Ейлера, потім удосконаленим методом Ейлера і порівняємо отримані результати.
Задача 1. 1) Знайти чисельні розв’язки задачі Коші у´(х) = 2у + sin(3x – y), y(0) = 1 на відрізку [0; 1] з кроками інтегрування h = 0,2 0,1 0,05 0,025 методом Ейлера.
2) Знайти удосконаленим методом Ейлера чисельні розв’язки тої ж задачі Коші з тими ж кроками інтегрування, що й в 1).
Розв’язання. 1) Кроки інтегрування задамо у чарунках H1 : H4 так, що H1 = 0,2, а H4 = 0,025. Побудуємо електронну таблицю для чисельного розв’язання даної задачі Коші з кроком інтегрування 0,2 методом Ейлера. Надамо чарункам таких значень:
|
A |
B |
C |
1 |
x |
y |
Dy |
2 |
0 |
1 |
= $H$1*(2*B2+0,5*SIN(3*A2-B2)) |
3 |
= A2+$H$1 |
= B2+C2 |
↓ |
4 |
↓ |
↓ |
↓ |
Тут у чарунках А2:В2 координати початкової точки, у чарунці С2 підраховується кутовий коефіцієнт f(х0; у0), помножений на крок інтегрування, у стовпці А отримуються значення хk з кроком 0,2 на відрізку [0; 1]. Тоді у стовпці В будуть обчислені відповідні значення у(хk) згідно з рекурентною формулою (1). (Як і завжди, символ ↓ тут означає копіювання попередніх чарунок). В результаті отримаємо таку таблицю:
|
A |
B |
C |
1 |
х |
у |
Dy |
2 |
0 |
1 |
0,315853 |
3 |
0,2 |
1,315853 |
0,460715 |
4 |
0,4 |
1,776568 |
0,656112 |
5 |
0,6 |
2,43268 |
0,913941 |
6 |
0,8 |
3,346621 |
1,257504 |
7 |
1 |
4,604125 |
1,741706 |
Звичайно, стовпець А копіюємо лише до чарунки із значенням 1, в даному випадку до А7. Звідси у(0,2) ≈ 1,315853, у(1) ≈ 4,604125. Для отримання аналогічної таблиці з кроком інтегрування 0,1 можна скопіювати попередні формули, наприклад у діапазон Е1:G3, як це зробили ми, а потім у чарунках Е3 і G2 у $H$1 замінити 1 на 2. Таким чином отримуємо таку таблицю:
|
E |
F |
G |
1 |
x |
y |
Dy |
2 |
0 |
1 |
= $H$2*(2*F2+0,5*SIN(3*E2-F2)) |
3 |
= E2+$H$2 |
= B2+C2 |
↓ |
4 |
↓ |
↓ |
↓ |
І тоді в результаті обчислень дістанемо:
|
E |
F |
G |
1 |
х |
у |
Dy |
2 |
0 |
1 |
0,157926 |
3 |
0,1 |
1,157926 |
0,193761 |
4 |
0,2 |
1,351687 |
0,236194 |
5 |
0,3 |
1,587881 |
0,285831 |
6 |
0,4 |
1,873712 |
0,343548 |
7 |
0,5 |
2,21726 |
0,410586 |
8 |
0,6 |
2,627846 |
0,488745 |
9 |
0,7 |
3,116592 |
0,580802 |
10 |
0,8 |
3,697394 |
0,691336 |
11 |
0,9 |
4,38873 |
0,828093 |
12 |
1 |
5,216823 |
1,003441 |
|
A |
B |
C |
9 |
х |
у |
Dy |
10 |
0 |
1 |
0,078963 |
11 |
0,05 |
1,078963 |
0,087871 |
12 |
0,1 |
1,166835 |
0,097626 |
25 |
0,75 |
3,583389 |
0,33404 |
26 |
0,8 |
3,917429 |
0,366778 |
27 |
0,85 |
4,284207 |
0,403754 |
28 |
0,9 |
4,687961 |
0,44594 |
29 |
0,95 |
5,133901 |
0,494482 |
30 |
1 |
5,628383 |
0,550564 |
|
J |
K |
L |
1 |
х |
у |
Dy |
2 |
0 |
1 |
0,039482 |
3 |
0,025 |
1,039482 |
0,041702 |
37 |
0,875 |
4,642152 |
0,220832 |
38 |
0,9 |
4,862984 |
0,232778 |
39 |
0,925 |
5,095762 |
0,245642 |
40 |
0,95 |
5,341404 |
0,259503 |
41 |
0,975 |
5,600907 |
0,274432 |
42 |
1 |
5,875339 |
0,290478 |
Тепер побудуємо електронну таблицю для чисельного розв’язання даної задачі Коші з кроком 0,2 удосконаленим методом Ейлера. Надамо чарункам таких значень:
|
A |
B |
C |
1 |
x |
y |
Dy |
2 |
0 |
1 |
= $H$1*(2*B2+0,5*SIN(3*A2-B2)) |
3 |
= A2 + $H$1 |
= B2 + F2 |
↓ |
4 |
↓ |
↓ |
↓ |
|
D |
E |
F |
1 |
x1 |
y1 |
Dy1 |
2 |
= A2 + 0,5*$H$1 |
= B2 + 0,5*C2 |
= $H$1*(2*E2+0,5*SIN(3*D2-E2)) |
3 |
↓ |
↓ |
↓ |
4 |
↓ |
↓ |
↓ |
Формули у стовпцях А, В, С майже ідентичні відповідним формулам таблиці методу Ейлера, лише чарунці В3 надана формула = B2 + F2 замість = B2+C2 у методі Ейлера. Але в цьому й врахована відмінність цих методів, у стовпці В обраховуються значення згідно з (2): уk+1 = уk + f(хk + ; уk + ½)h, а доданок f(хk + ; уk + ½)h підраховується в стовпці F. Його аргументи хk + і уk + ½ = уk + f(хk; уk) обраховуються відповідно у стовпцях D і Е. Тому формулу у чарунці F2 можна просто скопіювати з чарунки С2. В результаті обрахунків за попередньою таблицею дістанемо:
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
1 |
x |
y |
Dy |
x1 |
y1 |
Dy1 |
2 |
0 |
1 |
0,315853 |
0,1 |
1,157926 |
0,387522 |
3 |
0,2 |
1,387522 |
0,484148 |
0,3 |
1,629596 |
0,585181 |
4 |
0,4 |
1,972703 |
0,719274 |
0,5 |
2,33234 |
0,858985 |
5 |
0,6 |
2,831688 |
1,046859 |
0,7 |
3,355118 |
1,246989 |
6 |
0,8 |
4,078677 |
1,532052 |
0,9 |
4,844703 |
1,853903 |
7 |
1 |
5,93258 |
2,352282 |
1,1 |
7,108721 |
2,905362 |
Далі можна, як і в методі Ейлера, скопіювати попередні формули, наприклад у діапазон J1:O3, а потім у чарунках A3, C2, D2, F2 у $H$1 замінити 1 на 2, звідки дістанемо:
|
J |
K |
L |
1 |
x |
y |
Dy |
2 |
0 |
1 |
= $H$2*(2*K2+0,5*SIN(3*J2-K2)) |
3 |
= J2 + $H$2 |
= K2 + O2 |
↓ |
4 |
↓ |
↓ |
↓ |
|
M |
N |
O |
1 |
x1 |
y1 |
Dy1 |
2 |
= J2 + 0,5*$H$2 |
= K2 + 0,5*L2 |
= $H$2*(2*N2+0,5*SIN(3*M2-N2)) |
3 |
↓ |
↓ |
↓ |
4 |
↓ |
↓ |
↓ |
І тоді в результаті обчислень дістанемо:
|
J |
K |
L |
M |
N |
O |
1 |
x |
y |
Dy |
x1 |
y1 |
Dy1 |
2 |
0 |
1 |
0,157926 |
0,05 |
1,078963 |
0,175743 |
3 |
0,1 |
1,175743 |
0,196748 |
0,15 |
1,274116 |
0,218126 |
4 |
0,2 |
1,393869 |
0,24312 |
0,25 |
1,515429 |
0,268443 |
5 |
0,3 |
1,662312 |
0,297933 |
0,35 |
1,811278 |
0,327763 |
6 |
0,4 |
1,990075 |
0,362495 |
0,45 |
2,171323 |
0,397662 |
7 |
0,5 |
2,387737 |
0,438765 |
0,55 |
2,60712 |
0,480547 |
8 |
0,6 |
2,868285 |
0,529838 |
0,65 |
3,133204 |
0,58035 |
9 |
0,7 |
3,448634 |
0,640956 |
0,75 |
3,769112 |
0,703889 |
10 |
0,8 |
4,152523 |
0,781328 |
0,85 |
4,543187 |
0,863032 |
11 |
0,9 |
5,015555 |
0,966349 |
0,95 |
5,49873 |
1,076088 |
12 |
1 |
6,091644 |
1,215832 |
1,05 |
6,69956 |
1,359749 |
Так само скопіюємо попередні формули у два нових вільних діапазони, а потім замінимо в $H$1 1 відповідно на 3 і 4 у відповідних чарунках. В результаті отримуємо таблиці:
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
x |
y |
Dy |
x1 |
y1 |
Dy1 |
11 |
0 |
1 |
0,078963 |
0,025 |
1,039482 |
0,083404 |
12 |
0,05 |
1,083404 |
0,088249 |
0,075 |
1,127529 |
0,09313 |
13 |
0,1 |
1,176535 |
0,09844 |
0,125 |
1,225755 |
0,103781 |
14 |
0,15 |
1,280316 |
0,109578 |
0,175 |
1,335105 |
0,115401 |
15 |
0,2 |
1,395717 |
0,121713 |
0,225 |
1,456574 |
0,128047 |
16 |
0,25 |
1,523765 |
0,134906 |
0,275 |
1,591218 |
0,141786 |
17 |
0,3 |
1,665551 |
0,149232 |
0,325 |
1,740167 |
0,1567 |
18 |
0,35 |
1,822251 |
0,164781 |
0,375 |
1,904642 |
0,172889 |
19 |
0,4 |
1,99514 |
0,181665 |
0,425 |
2,085972 |
0,190473 |
28 |
0,85 |
4,5881 |
0,43649 |
0,875 |
4,806345 |
0,460151 |
29 |
0,9 |
5,048251 |
0,487008 |
0,925 |
5,291755 |
0,514551 |
30 |
0,95 |
5,562803 |
0,545886 |
0,975 |
5,835746 |
0,577854 |
31 |
1 |
6,140657 |
0,614042 |
1,025 |
6,447678 |
0,650494 |
та
|
J |
K |
L |
M |
N |
O |
15 |
x |
y |
Dy |
x1 |
y1 |
Dy1 |
16 |
0 |
1 |
0,039482 |
0,0125 |
1,019741 |
0,04059 |
17 |
0,025 |
1,04059 |
0,04175 |
0,0375 |
1,061465 |
0,042913 |
18 |
0,05 |
1,083503 |
0,044129 |
0,0625 |
1,105568 |
0,045348 |
19 |
0,075 |
1,128851 |
0,046621 |
0,0875 |
1,152162 |
0,047897 |
20 |
0,1 |
1,176749 |
0,049229 |
0,1125 |
1,201363 |
0,050564 |
21 |
0,125 |
1,227312 |
0,051956 |
0,1375 |
1,25329 |
0,05335 |
22 |
0,15 |
1,280662 |
0,054803 |
0,1625 |
1,308064 |
0,056259 |
23 |
0,175 |
1,336921 |
0,057776 |
0,1875 |
1,365809 |
0,059295 |
24 |
0,2 |
1,396216 |
0,060877 |
0,2125 |
1,426655 |
0,062461 |
50 |
0,85 |
4,595439 |
0,218654 |
0,8625 |
4,704766 |
0,224559 |
51 |
0,875 |
4,819998 |
0,230857 |
0,8875 |
4,935427 |
0,237228 |
52 |
0,9 |
5,057226 |
0,244032 |
0,9125 |
5,179242 |
0,250911 |
53 |
0,925 |
5,308137 |
0,258262 |
0,9375 |
5,437268 |
0,265687 |
54 |
0,95 |
5,573824 |
0,27362 |
0,9625 |
5,710634 |
0,281618 |
55 |
0,975 |
5,855442 |
0,290152 |
0,9875 |
6,000518 |
0,298734 |
56 |
1 |
6,154175 |
0,307866 |
1,0125 |
6,308108 |
0,317014 |
Такими є результати обрахунків. Оскільки похибка на кожному кроці є систематичною, то найбільшу похибку слід очікувати у кінцевій точці 1. Тому порівняємо тепер наближені значення розв’язку задачі Коші, отримані в задачі методом Ейлера та удосконаленим методом Ейлера саме у цій точці за допомогою наступної таблиці.
|
Метод Ейлера |
Удосконалений метод Ейлера |
||
h |
|
|
|
|
0,2 |
4,604125 |
|
5,93258 |
|
0,1 |
5,216823 |
0,612698 |
6,091644 |
0,159064 |
0,05 |
5,628383 |
0,41156 |
6,140657 |
0,049013 |
0,025 |
5,875339 |
0,246957 |
6,154175 |
0,013518 |
Тут у
стовпці h використані в попередній
задачі кроки інтегрування диференціального
рівняння.
– це наближене значення розв’язку
задачі Коші в точці 1, отримане методом
Ейлера або удосконаленим методом
Ейлера з кроком h і взяте
із відповідної попередньої таблиці.
– це
–
,
наприклад, для методу Ейлера
= 0,612698 =
–
= 5,216823 – 4,604125. З таблиці відразу видно,
що значення
для удосконаленого методу
Ейлера відчутно менші
відповідних значень методу
Ейлера, тобто збіжність
удосконаленого методу
Ейлера значно швидша.
Якщо подивитись більш уважно, то можна
помітити, що для методу
Ейлера значення
зменшуються приблизно пропорційно
зменшенню кроку h,
а для удосконаленого методу
Ейлера квадрату зменшення
h. Точні
оцінки збіжності цих методів, апріорні
та апостеріорні отримаємо у двох
наступних параграфах відповідно.