4. Стійкість і коректність.

Означення 3. Задачу називають стійкою за вхідними даними з деякого класу, якщо її розв‘язок неперервно залежить від вхідних даних. Якщо ця умова не виконується, то задача вважається нестійкою за вхідними даними.

Наприклад, задача інтегрування є стійкою на множині неперервних функцій на відрізку [a;b]. Дійсно, якщо (x), g(x) – неперервні функції на [a;b] і , то , тобто , якщо ε → 0. Навпаки задача диференціювання є нестійкою на множині диференційовних функцій на інтервалі (0;π). Дійсно, якщо (x) ≡ 0, g(x) = ε ∙ sin(x/ ε), то на (0;π). Однак похідна ( (x) – g(x))′ = – cos(x/ ε) = 1 при х = πε для будь – якого ε.

Поняття стійкості характеризує чутливість задачі до неточностей у вхідних даних і безпосередньо пов’язано з методами обчислень. Якщо задача стійка, то достатньо малі похибки вхідних даних спричиняють й малі похибки розв‘язку задачі. Якщо ні, то як завгодно незначні похибки вхідних даних можуть призвести до як завгодно великих похибок розв’язку, тобто розв’язок може бути зовсім спотворений. Розглянемо це більш докладно на прикладі методу чисельного диференціювання.

Нехай ′ (x₀) наближено визначається з виразу ′ (x₀) ≈ , гранична абсолютна похибка виразу (x₀+h) – (x₀) дорівнює Е (завжди Е > 0, оскільки існує обчислювальна похибка). Наближене значення ′ (x₀) дорівнює = . Оскільки для наближення до ′ (x₀) необхідно спрямувати h → 0, звідки → ∞ , то й виявляється, що як завгодно незначна обчислювальна похибка Е може призвести до як завгодно великих похибок розв’язку.

Може статися і так, що для розв‘язування стійкої за вхідними даними задачі використовується нестійкий метод обчислень. Наприклад, нехай треба знайти інтеграл

,

Інтегруючи за частинами, маємо

Звідси дістанемо

, , ..., .

Використавши рекурентне співвідношення, обчислимо перші дев‘ять інтегралів

, , , , , ,

, , .

Значення інтеграла помилкове, оскільки підінтегральна функція в усіх точках відрізка невід‘ємна. Помилка зумовлена похибкою округлення значення до шести значущих цифр. Ця похибка наближено дорівнює . Але при обчисленні вона множиться на – 2, на (– 2) ∙ (– 3) і т.д. Похибка в дорівнює . Вона спотворила істинне значення , яке з трьома значущими цифрами дорівнює 0,0916.

Цей приклад свідчить, що поняття стійкості та означення 3 доречно використовувати не тільки для задачі, але й для методу її розв‘язування.

Введемо нарешті поняття коректності задачі.

Означення 4. Задача називається коректно поставленою, якщо для будь-яких вхідних даних з деякого класу існує єдиний і стійкий за вхідними даними її розв‘язок. Наведена вище задача обчислення інтегралів є коректно поставленою на множині неперервних функцій, а диференціювання – некоректно поставленою задачею на множині диференційовних функцій.

Як показано у прикладах, для розв‘язання некоректно поставлених задач безпосередньо застосовувати чисельні методи не варто, оскільки похибки округлень при розрахунках можуть катастрофічно зрости і призвести до результату, далекого від шуканого розв‘язку. Для розв‘язання некоректно поставлених задач використовують так звану регуляризацію: замінюють дану задачу коректно поставленою. Наприклад, для знаходження похідної функції (x) (g(x) = ′ (x) ) замість того, щоби безпосередньо диференціювати, можна розв‘язувати еквівалентне інтегральне рівняння з невідомою функцією g(x). Така задача вже коректна завдяки стійкості задачі інтегрування, отже вона є регуляризацією задачі диференціювання.