§8. Пошук початкового опорного розв’язку. Метод штучного базису

Для того, щоби застосувати симплекс – метод до задачі лінійного програмування у канонічній формі, необхідно спочатку знайти деякий початковий допустимий опорний розв’язок. У попередньому прикладі це було досягнуто завдяки безпосередньому розповсюдженню симплекс – метода (метода жорданових перетворень). Розглянемо це більш докладно на прикладі задачі про раціон, математична модель якої отримана у §1:

f = 20х₁ + 30х₂ (min)

.

Ввівши нові змінні х₃, х₄ і змінивши знаки коефіцієнтів у цільової функції, зведемо цю модель до канонічної:

f ´ = – 20х₁ – 30х₂ (mах)

.

Запишемо її у електронну симплекс – таблицю:

	А	B	C	D	E	F
1	х1	х2	х3	х4	d	d/aij
2	2	5	-1	0	8
3	3	2	0	-1	9
4	-20	-30	0	0	0

Ця симплекс – таблиця не приведена до початкового опорного розв’язку. Проте будемо діяти у відповідності з симплекс – методом. Змінні x₃, x₄ не можна безпосередньо використати у якості основних, оскільки тоді їх значення будуть від’ємними, а відповідні розв’язки не допустимими. Спробуємо x₁ у якості основної. Щоби знайти ведучий елемент у стовпці А перевіримо умову допустимості.

	А	B	C	D	E	F
1	х1	х2	х3	х4	b	b/aij
2	2	5	-1	0	8	4
3	3	2	0	-1	9	3
4	-20	-30	0	0	0

Отже, виокремимо нову симплекс – таблицю в діапазоні А6: F8. Надамо чарункам електронної таблиці таких значень:

	А	B	C	D	E	F
6	=А2 – А7*$А$2	→	→	→	→
7	=А3/$А$3	→	→	→	→
8	=А4 – А7*$А$4	→	→	→	→

Звичайно, спочатку діємо у рядку 7, а потім у решті. В результаті дістанемо:

	А	B	C	D	E	F
	х1	х2	х3	х4	b	b/aij
6	0	3,666667	-1	0,666667	2
7	1	0,666667	0	-0,33333	3
8	0	-16,6667	0	-6,66667	60

У якості другої основної змінної спробуємо x₂. Щоби знайти ведучий елемент у стовпці В перевіримо умову допустимості.

	А	B	C	D	E	F
	х1	х2	х3	х4	b	b/aij
6	0	3,666667	-1	0,666667	2	0,545455
7	1	0,666667	0	-0,33333	3	4,5
8	0	-16,6667	0	-6,66667	60

Нам пощастило: ведучий елемент виявився саме на необхідному місці. Якщо б замість 3,666667 значення у чарунці В6 дорівнювало скажімо 0,1 , то нам залишилося б замість x₂ спробувати якусь іншу змінну. Тепер виконаємо чергове жорданове перетворення з ведучим елементом у В6:

	А	B	C	D	E	F
	х1	х2	х3	х4	b	b/aij
10	0	1	-0,27273	0,181818	0,545455
11	1	0	0,181818	-0,45455	2,636364
12	0	0	0	-5,45455	27,27273

Нарешті симплекс – таблиця виявляється приведеною до базису А₁ , А₂ опорного розв’язку. Всі оцінки не додатні. Згідно з теоремою 1 це означає, що розв’язок є оптимальним, на цьому симплекс – метод припиняє роботу. Значення цільової функції із зміненими коефіцієнтами f ´ = – 27,27273, отже f = 27,27273. Разом з тим зауважимо, що оцінка δ₃ = 0, отже цільова функція, виражена через вільні змінні х₄, х₃ має вигляд f ´ = 27,27 – 5,45х₄. Тому, якщо обрати за нову основну змінну х₃, то хоча її значення і стане додатним замість нульового, але значення цільової функції f ´ не зміниться і ми дістанемо новий оптимальний опорний розв’язок. Отже, виконаємо жорданове перетворення ще раз. У стовпці С додатним є лише значення у чарунці С11, тому вона і є ведучим елементом. В результаті дістанемо:

	А	B	C	D	E	F
14	1,5	1	0	-0,5	4,5
15	5,5	0	1	-2,5	14,5
16	0	0	0	-5,45455	27,27273

Отже, існують принаймні два різних оптимальних опорних розв’язка, а тому існує нескінченна множина оптимальних розв’язків даної задачі – всі точки на відрізку між цими опорними розв’язками. Загалом процес перетворень виглядає так:

	А	B	C	D	E	F
1	х1	х2	х3	х4	d	d/aij
2	2	5	-1	0	8	4
3	3	2	0	-1	9	3
4	-20	-30	0	0	0
5
6	0	3,666667	-1	0,666667	2	0,545455
7	1	0,666667	0	-0,33333	3	4,5
8	0	-16,6667	0	-6,66667	60
9
10	0	1	-0,27273	0,181818	0,545455
11	1	0	0,181818	-0,45455	2,636364
12	0	0	0	-5,45455	27,27273
13
14	1,5	1	0	-0,5	4,5
15	5,5	0	1	-2,5	14,5
16	0	0	0	-5,45455	27,27273

Звичайно, застосований тут метод не є ефективним алгоритмом пошуку початкового опорного розв’язку. Фактично ми просто пробували деякі пари змінних у якості основних і такий процес перебору може тривати дуже довго. Справжнім ефективним алгоритмом є наступний метод штучного базису.

Розглянемо задачу лінійного програмування у канонічній формі (3):

f = (max)

= b_i (i = 1, 2, …, m)

x_j ≥ 0 (j = 1, 2, …, n) .

Як і завжди, вважаємо, що всі b_i ≥ 0. Для пошуку початкового опорного розв’язку побудуємо допоміжну задачу

g = (min)

+ y_i = b_i (i = 1, 2, …, m)

x_j ≥ 0 (j = 1, 2, …, n) , y_i ≥ 0 (i = 1, 2, …, m). (4)