§5. Симплекс – метод.

На цих теоремах і ґрунтується симплекс – метод. Він дає спосіб на кожному кроці від неоптимального згідно з теоремою 1 опорного розв’язку перейти до наступного, ближчого до оптимального, ніж попередній, тобто поліпшити його. Тому симплекс – метод називають ще методом послідовного поліпшення опорного розв’язку. Цей алгоритм закінчує роботу, якщо встановлюється оптимальність отриманого опорного розв’язку згідно з теоремою 1 або ж відсутність оптимального розв’язку згідно з теоремою 2. Пояснімо його спочатку на конкретному прикладі.

Приклад. Для виготовлення продукції використовують три вида сировини і чотири способи виробництва. Запаси сировини, її витрати на одиницю продукції та кількість виготовляємої продукції по кожному способу (за годину роботи) наведені у таблиці.

Сировина	Спосіб виробництва				Запаси
	1	2	3	4
1	1	2	1	9	18
2	1	1	2	1	30
3	1	3	3	2	40
Кількість продукції	12	7	18	10

Треба знайти план виробництва, за яким буде отримана найбільша кількість продукції.

Це приклад задачі планування виробництва, розглянутий в §1. Як там показано, позначивши через х_j час використання j – го способу виробництва (j = 1,2,3,4), дістанемо таку задачу лінійного програмування.

f = 12x₁ + 7x₂ + 18x₃ + 10x₄ (max) ,

.

Ввівши нові змінні х₅, х₆, х₇, зведемо цю задачу до канонічної:

f = 12x₁ + 7x₂ + 18x₃ + 10x₄ (max)

.

Складемо її симплекс – таблицю:

х1	x2	x3	x4	x5	х6	х7	b
1 1 1	2 1 3	1 2 3	0 1 2	1 0 0	0 1 0	0 0 1	18 30 40
12	7	18	10	0	0	0	0

Симплекс – таблиця виявляється приведеною до базису А₅ , А₆ , А₇ опорного розв’язку α₁ = (0; 0; 0; 0; 18; 30; 40), f(α₁) = 0. Це видно з того, що матриця такого розв’язку на стовпцях змінних х₅ , х₆ , х₇ є діагональною і отже відповідна система лінійних рівнянь у звичайній формі загального розв’язку має вигляд:

.

Отже, змінні х₅ , х₆ , х₇ є основними, решта вільні. Вільні змінні опорного розв’язку х₁ = х₂ = х₃ = х₄ = 0, звідси х₅ = 18, х₆ = 30, х₇ = 40. Оцінки основних змінних дорівнюють нулю, отже цільова функція виражена через вільні змінні опорного розв’язку α₁, f = 0. Серед оцінок базису є додатні, тож α₁ не є оптимальним згідно з ознакою оптимальності (теорема 1). Процедура його поліпшення, до розгляду якої ми переходимо, і є кроком симплекс – методу.

Виберемо будь – яку з додатних оцінок, скажімо δ₁ = 12. (Найчастіше вибирають найбільшу, але це не обов’язково). Тим самим обрані змінна х₁ і стовпець 1 симплекс – таблиці (з номером оцінки). Якщо знайти новий опорний розв’язок α₂, у якому змінна х₁ стане основною (замість вільної у α₁), а тим самим додатною, то й значення цільової функції f = 12x₁ + 7x₂ + 18x₃ + 10x₄ збільшиться на 12x₁ і стане додатним. Отже f(α₂) ≥ f(α₁), такий α₂ ближче за α₁ до оптимального. Фактично процедура знаходження α₂ така.

Розглянемо відношення вільних членів до відповідних елементів обраного стовпця (в даному прикладі це 18/1, 30/1, 40/1) і серед них виберемо найменше. Тим самим обрані рядок (у прикладі теж перший) і елемент на перетині обраних рядка і стовпця (тут а₁₁ = 1). Насправді це обрано місце, де елемент стовпця змінної х₁ у симплекс – таблиці нового опорного розв’язку α₂ буде дорівнювати одиниці, решта елементів повинна дорівнювати нулю, оскільки для α₂ змінна х₁ стане основною, а її стовпець частиною діагональної матриці. Обрані елемент, рядок і стовпець називають ведучими для наступного жорданова перетворення: як і у методі Гаусса, операціями над рядками симплекс – таблиці (тобто матриці) ведучий елемент роблять одиницею, а решту елементів ведучого стовпця нулями. У цьому прикладі вже а₁₁ = 1, тож достатньо відняти перший рядок від другого і третього, від останнього рядка треба відняти перший, помножений на 12. В результаті отримаємо таку симплекс – таблицю:

х1	x2	x3	x4	x5	х6	х7	b
1 0 0	2 – 1 1	1 1 2	0 1 2	1 – 1 – 1	0 1 0	0 0 1	18 12 22
0	– 17	6	10	– 12	0	0	– 216

В результаті змінна х₁ стала основною (що і було метою перетворення), натомість змінна х₅ стала вільною, отже новий набор основних змінних – це х₁, х₆, х₇ ; новий загальний розв’язок, відповідний симплекс – таблиці, має вигляд

;

отже новий опорний розв’язок α₂ = (18; 0; 0; 0; 0; 12; 22); цільова функція, виражена через новий набір вільних змінних має вигляд f = 216 – 17x₂ + 6x₃ + 10x₄ – 12x₅ ; f(α₂) = 216 > f(α₁) = 0. На цьому завершується перший крок симплекс – метода.

Зазначимо, що у цій процедурі обирався лише рядок (по критерію мінімуму відношень), все інше випливало з цього автоматично. Спробуємо у якості ведучого обрати рядок 2 замість рядка 1. Тоді ведучий елемент а₂₁ = 1, отже для жорданова перетворення достатньо відняти другий рядок від першого і третього, від четвертого рядка треба відняти другий, помножений на 12. Маємо:

х1	x2	x3	x4	x5	х6	х7	b
0 1 0	1 1 2	– 1 2 1	– 1 1 1	1 0 0	– 1 1 – 1	0 0 1	– 12 30 10
0	– 5	– 6	– 2	0	– 12	0	– 360

В результаті набір основних змінних: х₁, х₅, х₇ ; опорний розв’язок (30; 0; 0; 0;–12; 0;10; 0). Він не є допустимим, оскільки х₅ = – 12. Так само станеться, якщо обрати рядок 3 у якості ведучого. Зміст критерію мінімуму відношень у тому, що лише за таким вибором новий опорний розв’язок виявиться допустимим, тому його називають умовою допустимості. Це буде доведено при розгляді симплекс – метода у загальному вигляді, зараз продовжимо розгляд приклада.

Другий крок. У симплекс – таблиці, отриманій на першому кроці, залишилось дві додатні оцінки: 6 і 10. Обираємо серед них більшу: як ми бачили, ця оцінка є множником для величини збільшення цільової функції на кроці, тож можна сподіватись, що в такому разі і ця величина виявиться найбільшою (хоч насправді це не завжди так). Тим самим обрані змінна х₄ і відповідний стовпець симплекс – таблиці. Якщо знайти новий опорний розв’язок α₃, у якому змінна х₄ стане основною (замість вільної у α₂), а тим самим додатною, то й значення цільової функції f = 216 – 17x₂ + 6x₃ + 10x₄ – 12x₅ збільшиться, на 10х₄. Отже f(α₃) ≥ f(α₂), такий α₃ поліпшить α₂ .

Як і на першому кроці, розглянемо відношення вільних членів до відповідних елементів обраного стовпця: 12/1, 22/2; виберемо серед них найменше 22/2 (лише додатні елементи стовпця у розгляді: доведення умови допустимості далі при розгляді симплекс – методу у загальному вигляді). Тим самим обрані ведучий рядок 3 і ведучий елемент а₃₄ = 2 для жорданова перетворення. Отже поділимо рядок 3 на 2, а отриманий рядок віднімемо від другого та помноживши на 10 від четвертого. Маємо:

х1	x2	x3	x4	x5	х6	х7	b
1 0 0	2 – 3/2 1/2	1 0 1	0 0 1	1 – 1/2 – 1/2	0 1 0	0 – 1/2 1/2	18 1 11
0	– 22	– 4	0	– 7	0	– 5	– 326

В результаті змінна х₄ стала основною, змінна х₇ стала вільною, новий набір основних змінних – це х₁, х₃, х₆ ; отже новий опорний розв’язок α₃ = (18; 0; 0; 11; 0; 1; 0), цільова функція, виражена через новий набір вільних змінних має вигляд f = 326 – 22х₂ – 4х₄ – 7х₅ – 5х₇, f(α₃) = 326 > f(α₂) = 216. Нарешті всі оцінки не додатні. Згідно з теоремою 1 на цьому симплекс – метод завершує роботу. Якщо знайти новий опорний розв’язок, у якому будь – яка вільна змінна х₂, х₄, х₅ або х₇ стане основною (замість вільної у α₃), а тим самим додатною, то значення цільової функції f зменшиться. Отже α₃ є оптимальним розв’язком задачі лінійного програмування у канонічній формі. Щодо початкової задачі, то відкидаємо три останні додані змінні. Відповідь її така. Для виготовлення найбільшої кількості продукції при даних запасах сировини необхідно застосовувати на протязі 18 годин перший спосіб виробництва та на протязі 11 годин – четвертий. В результаті буде виготовлено 326 одиниць продукції.

Нарешті сформулюємо симплекс – метод у загальному вигляді.

1. Звести задачу лінійного програмування до канонічної форми (далі будемо вважати, що задача дана у формі (3) ). Записати її симплекс – таблицю.

2. Знайти деякий початковий опорний розв’язок задачі (3), привести симплекс – таблицю до базису цього розв’язку, зокрема обчислити оцінки δ_j всіх його основних змінних.

3. Згідно з ознакою оптимальності (теорема 1), якщо всі оцінки δ_j ≤ 0, то цей розв’язок є оптимальним і на цьому симплекс – метод завершує роботу. Якщо ж серед оцінок є додатні, то виконується процедура його поліпшення, яка і є кроком симплекс – метода.

1) Вибираємо довільну додатну оцінку, скажімо δ_s . Тим самим обрані змінна х_s і стовпець з номером s симплекс – таблиці.

2) Якщо всі елементи стовпця s, окрім самої оцінки δ_s > 0, недодатні, то цільова функція не обмежена зверху (умова необмеженості цільової функції, теорема 2), тобто оптимального розв’язку задачі (3) не існує і на цьому симплекс – метод припиняє роботу.

3) Якщо у стовпці s є додатні елементи, то серед відношень вільних членів d_i до відповідних додатних елементів a_is стовпця s обираємо найменше

Θ = ; Θ (4)

для деякого рядка з номером k. Умову (4) на рядок k називають умовою допустимості.

4) На перетині обраних рядка k і стовпця s ведучий елемент а_ks наступного жорданова перетворення. Поділивши рядок k на ведучий елемент а_ks, дістанемо одиницю у стовпці s і Θ у стовпці вільних членів. Отриманий рядок віднімемо від кожного іншого рядка і, помноживши на а_is , від рядка цільової функції, помноживши на δ_s .

5) В результаті маємо симплекс – таблицю з новим набором основних змінних, який включає х_s (іншими словами з новим базисом). Якщо Θ > 0 (а так і буде напевно, якщо початковий опорний розв’язок є невиродженим), то отримуємо поліпшений опорний розв’язок, із збільшеним значенням цільової функції. Якщо Θ = 0, то отримуємо новий набір основних змінних (тобто новий базис) з тим самим опорним розв’язком.

6) На цьому крок симплекс – методу завершується. Треба повернутись до пункту 3 і розпочати наступний крок з аналізу оцінок змінних.

Скінченність симплекс – методу. Якщо задача лінійного програмування у канонічній формі не має вироджених опорних розв’язків, то через скінченну кількість кроків буде отриманий оптимальний розв’язок. Справді, на кожному кроці дістаємо поліпшений опорний розв’язок, а загалом їх кількість скінченна.

При розв’язуванні задачі, яка має вироджені опорні розв’язки, може так трапитись, що при переході до нового набору основних змінних того ж самого опорного розв’язку ми повернемось до початкового набору, тобто процес зациклиться. Для запобігання цього треба уточнити правило переходу. Наприклад, це можна зробити так. Серед оцінок базису δ_j > 0 вибираємо оцінку з найменшим номером. Якщо k, при якому Θ = = не єдине, то обираємо k з найменшим номером. Слідкуємо, щоби при подальших переходах ці номери завжди тільки збільшувались: це унеможливить зациклювання.

Нарешті доведемо, що умова допустимості (4) є необхідною і достатньою для того, щоби отриманий в результаті жорданова перетворення опорний розв’язок виявився допустимим. Справді, нове значення вільної змінної після жорданова перетворення дорівнює = . Якщо а_is ≤ 0, то ≥ 0, оскільки d_i ≥ 0, d_k ≥ 0, а_ks > 0. Якщо ж а_is > 0, то = ≥ 0, оскільки а_is > 0, а ≥ 0 за умови допустимості.

Навпаки, якщо ≥ 0 на всіх рядках, то звідси ≥ 0 на всіх тих рядках і, де а_is > 0. Отже = Θ = , тобто виконується умова допустимості.