§4. Симплекс – таблиця

Основним об’єктом у симплекс – методі є симплекс – таблиця. Фактично це розширена матриця системи обмежень задачі лінійного програмування у канонічній формі, до якої додано рівняння нульового рівня цільової функції f = 0. Формально кажучи, для задачі

f = (max)

= b_i (i = 1, 2, …, m) (3)

x_j ≥ 0 (j = 1, 2, …, n)

симплекс – таблицею називають таку таблицю:

x1	x2	…	xn	b
а11 а21 . . . am1	а12 а22 . . . am2	… … …	a1n a2n . . . amn	b1 b2 . . . bm
c1	c2	…	cn	0

Нехай α = (0 ;…; ;…; ;…; ;…; 0) – деякий опорний розв’язок задачі (3), а відповідні вектори умов , , … , утворюють його базис. Як відомо, методом Гаусса можна привести стовпці i₁ , i₂ , … , i_r до діагонального виду, а якщо отримані в результаті перетворень деякі рядки містять лише нулі, то вони відкидаються. Іншими словами можна знайти загальний розв’язок системи лінійних рівнянь, що відповідає симплекс – таблиці (тобто матриці системи обмежень), у якому основні змінні – це , , … , , всі решта вільні. Матриця такого розв’язку на стовпцях основних змінних є діагональною. Отже маємо:

	…		…		…		…		b
. . .	… … …	0 . . .	… … …	1 . . .	… … …	0 . . .	… … …	. . .	. . .
	…		…		…		…

У стовпці вільних членів b системи лінійних рівнянь у відповідних рядках отримані значення опорного розв’язку: якщо всі вільні змінні дорівнюють нулю, то звідси = (k = 1,2,…,r). Віднімемо від останнього рядка отриманої таблиці перший рядок, помножений на , другий рядок, помножений на , … , r – й рядок, помножений на . В результаті дістанемо нову таблицю,

	…		…		…		…		b
. . .	… … …	0 . . .	… … …	1 . . .	… … …	0 . . .	… … …	. . .	. . .
	…		…		…		…

де = = … = = 0, δ₀ = = – f (α) (значення цільової функції на опорному розв’язку α з протилежним знаком).

Означення 8. Отриману таблицю називають симплекс – таблицею, приведеною до базису , , … , опорного розв’язку α , а числа δ_j – оцінками цього базису або оцінками її основних (базових) змінних , , … , .

Зміст оцінок δ_j у тому, що це коефіцієнти цільової функції, вираженої через вільні змінні опорного розв’язку α. Справді, δ_j = с_j (j=1,2,…,n) , δ₀ = . З другого боку виразимо через інші змінні з рядка 1 , з рядка 2, … , з рядка k , (k = 1,2,…,r). Підставимо ці вирази замість (k = 1,2,…,r) у цільову функцію

f = = ) = = = + = = f (α) + =

= – δ₀ . Отже, рівняння нульового рівня цільової функції f = 0, виражене через вільні змінні опорного розв’язку α виглядає так: = δ₀ . Саме воно і записано у нижньому рядку симплекс – таблиці.

Теорема 1. (Ознака оптимальності). 1) Якщо всі оцінки деякого базису опорного розв’язку α недодатні, то α є оптимальним розв’язком задачі лінійного програмування у канонічній формі (3).

2) Для оптимального опорного розв’язку задачі лінійного програмування у канонічній формі (3) завжди існує базис, всі оцінки якого недодатні.

Справді, нехай δ_j – оцінки деякого базису опорного розв’язку α, звідки f = + f (α), δ_j ≤ 0 . Якщо α₁ = (u₁ , u₂ , … , u_n) – деякий інший опорний розв’язок, u_j ≥ 0 (j=1,2,…,n), то f (α₁) = + f (α) ≤ f (α) , тобто розв’язок α є максимальним.

Навпаки, нехай α – невироджений опорний розв’язок (а у невиродженого опорного розв’язку базис тільки один). Нехай існує така оцінка δ_p базису опорного розв’язку α, що δ_p > 0. Для деякого θ > 0 покладемо (k = 1,2,…,r) , = θ, всі інші вільні змінні = 0. Такий набір значень змінних задовольняє системі обмежень: у кожному рядку k симплекс – таблиці, приведеної до базису опорного розв’язку α, маємо = = + = ( ) + = . Оскільки всі > 0 ( розв’язок є невиродженим), то й всі > 0 при достатньо малому θ > 0 . Отже, такий набір значень змінних є набором координат деякого допустимого розв’язку β. Але f (β) = + f (α) = δ_pθ + f (α) > f (α) . Це означає, що не вироджений опорний розв’язок не є максимальним, якщо існує оцінка δ_p > 0 його базису. Отже, невироджений опорний розв’язок є оптимальним тоді і тільки тоді, коли всі оцінки його базису недодатні. Але будь – який опорний розв’язок можна як завгодно точно наблизити невиродженим. Оцінки базисів деякої послідовності таких наближень збігаються до оцінок деякого базису даного розв’язка і отже всі оцінки довільного оптимального опорного розв’язку недодатні.

Теорема 2. (Умова необмеженості цільової функції). Нехай симплекс – таблиця задачі лінійного програмування приведена до базису деякого опорного розв’язку α. Якщо серед оцінок цього базису існує додатна δ_s > 0, а решта елементів s – го стовпця недодатні, то цільова функція не обмежена зверху. Якщо ж існує оцінка δ_s < 0, а решта елементів s – го стовпця невід’ємні, то цільова функція не обмежена знизу.

Справді, для довільного θ > 0 покладемо (k = 1,2,…,r), = θ, всі інші вільні змінні = 0. Такий набір значень змінних задовольняє системі обмежень: у кожному рядку k симплекс – таблиці, приведеної до базису опорного розв’язку α, маємо = + = ( ) + = . Оскільки всі ≤ 0, то й > 0 для довільного θ > 0. Отже, такий набір значень змінних є набором координат деякого допустимого розв’язку β. Але f (β) = + f (α) = δ_sθ + f (α) необмежено зростає із зростанням θ > 0, оскільки за умовою δ_s > 0. Другий випадок доводиться аналогічно.

Приклад. Розглянемо опорний розв’язок α = (1;0;0;0) задачі

f = – 10x₁ + x₂ – 9x₃ + 6x₄ (min) ,

.

Змінивши знак у цільової функції, отримаємо f = 10x₁ – x₂ + 9x₃ – 6x₄ (mах). Відповідна симплекс – таблиця:

x1	x2	x3	x4	b
1 1	1 – 1	3 – 1	0 2	1 1
10	– 1	9	– 6	0

Приведемо симплекс – таблицю цієї задачі до базису А₁ , А₂ опорного розв’язку α:

x1	x2	x3	x4	b
1 0	0 1	1 2	1 – 1	1 0
0	0	1	– 17	– 10

x1	x2	x3	x4	b
1 0	0 1	1 2	1 – 1	1 0
10	– 1	9	– 6	0

x1	x2	x3	x4	b
1 0	1 – 2	3 – 4	0 2	1 0
10	– 1	9	– 6	0

Серед оцінок є додатна δ₃ > 0. Отже, на цьому етапі не можна стверджувати, що α є оптимальним розв’язком. З іншого боку розглянемо базис А₁ , А₃ того ж опорного розв’язку α. Так само приведемо симплекс – таблицю до цього базису:

x1	x2	x3	x4	b
1 0	– 1/2 1/2	0 1	3/2 – 1/2	1 0
0	– 1/2	0	– 33/2	– 10

Всі оцінки недодатні. Отже, α є оптимальним розв’язком цієї задачі, вектори А₁ і А₃ складають його базис.