Завдання

1. Розв’язати СЛР методом Гаусса.

2. Знайти матрицю X =  – 5  , використавши вбудовані оператори Excel.

3. Знайти матрицю, обернену до матриці А = методом Гаусса.

4. Розв’язати СЛР матричним методом, використавши вбудовані оператори Excel.

5. Розв’язати CЛР методом простої ітерації.

Розділ 6. Методи лінійного програмування

§ 1. Оптимізаційні задачі. Математичне програмування

Нехай f(x) – функція n змінних, визначена на множині V Rⁿ , підмножина Ω V. Оптимізаційна задача задається трійкою (f, V, Ω) , де f(x) називається цільовою функцією, а Ω – множиною допустимих розв’язків оптимізаційної задачі; вона полягає у пошуку мінімуму (найменшого) або максимуму (найбільшого) значення цільової функції f(x) на допустимій множині Ω.

Означення 1. Оптимальним розв’язком задачі (f, V, Ω) називається таке х₀ є Ω, що f(x₀) ≤ f(x) (або f(x₀) ≥ f(x) ) для всіх х є Ω. Оптимізаційну задачу називають нерозв’язною, якщо вона не має оптимальних розв’язків. Розв’язати оптимізаційну задачу означає або знайти всі її оптимальні розв’язки, або ж довести її нерозв’язність.

Зокрема, задача мінімізації (максимізації) (f, V, Ω) буде нерозв’язною, якщо f(x) не обмежена знизу (зверху) на допустимій множині Ω.

Методи розв’язування оптимізаційної задачі (f, V, Ω) часто називають методами математичного програмування. Сам термін програмування в цьому випадку зумовлений тим, що саме математичне програмування є підґрунтям мікроекономіки – одної з двох найважливіших складових економічної науки і шуканою у таких задачах насправді є деяка програма дій. Необхідною передумовою будь – якого використання методів обчислень є створення математичної моделі досліджуваного об’єкта чи явища. Першим кроком при розв’язуванні задач економіки є побудова їх економіко – математичної моделі, тобто такої математичної задачі, до розв’язання якої зводиться поставлена економічна задача. Розглянемо деякі приклади.

1. Для виготовлення продукції двох типів (А і Б) на заводі використовують сировину трьох видів (1, 2 и 3). Для виробництва кожного виробу типу А витрачається 10 одиниць сировини виду 1, 20 одиниць виду 2 і 15 виду 3; для кожного виробу типу Б – 20, 10 и 15 відповідно. Запаси сировини складають: 1 виду 100 одиниць, 2 виду – 100, 3 виду – 90. Скласти щоденний план виробництва, що забезпечує найбільший прибуток, якщо кожний виріб типу А дає 200 гривен прибутку, Б – 300 гривен.

Зручно дані поставленої задачі сформувати у наступну таблицю.

Вироби	Прибуток	Сировина
		1	2	3
А	200	10	20	15
Б	300	20	10	15
Запаси сировини		100	100	90

Побудуємо математичну модель цієї задачі. Позначимо через х_А та х_Б кількість одиниць продукції А і Б відповідно, яку передбачається виготовити по плану. За умовою задачі цільова функція f – прибуток, який треба максимізувати: f = 200х_А + 300х_Б. При цьому сировини 1 буде витрачено 10х_А + 20х_Б. Кількість витраченої сировини не може перевищувати її запасу, тому 10х_А + 20х_Б ≤ 100. Аналогічно для сировини 2 20х_А + 10х_Б ≤ 100, для сировини 3 15х_А + 15х_Б ≤ 90. Змінні х_А і х_Б повинні бути невід’ємними, оскільки це кількості продукції. Отже економіко – математична модель формулюється так: треба знайти такі значення змінних х_А та х_Б , за яких задовольняється система нерівностей

і цільова функція f = 200 х_А + 300 х_Б набуває найбільшого можливого значення.

Знайти такі х_А та х_Б і означає знайти план виробництва. Це простіший приклад задачі планування виробництва, яка найбільш традиційно формулюється так у загальному вигляді. Підприємство виробляє деяку однорідну продукцію і використовує для цього n різних технологічних засобів і m різних ресурсів. За одиницю часу використання j – го технологічного засобу виготовляється с_j одиниць продукції, при цьому витрати і – го ресурсу a_ij одиниць (і = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n). Треба так спланувати роботу підприємства, щоби кількість продукції була найбільшою при умові, що витрати і – го ресурсу не можуть перебільшувати b_i одиниць (і = 1, 2, …, m).

Нехай х_j ≥ 0 (j = 1, 2, …, n) – час використання підприємством j – го технологічного засобу. Замість прибутку у попередньому прикладі тут цільова функція f – це кількість виробленої продукції: f = ; все інше так само, лише у загальному вигляді. За планом буде витрачено одиниць і–го ресурсу. Звідси ≤ b_i (і = 1, 2, …, m). Отже ми отримуємо таку економіко – математичну модель: треба знайти такі значення змінних х_j (j = 1, 2, …, n), за яких задовольняється система нерівностей

і цільова функція f = набуває найбільшого можливого значення.

2. Задача про раціон. У господарстві є два вида кормів вартістю 20 та 30 гривен за одиницю корму відповідно. У першому кормі міститься 2 одиниці вітаміну А та 3 одиниці вітаміну В, у другому 5 одиниць А та 2 одиниці В. Раціон повинен містити не менш як 9 одиниць А та 8 одиниць В. Скласти найдешевший раціон, який задовольняє цим вимогам.

Через х_А і х_В позначимо відповідно кількість першого і другого кормів у раціоні. Тут цільова функція f – це вартість раціону: f = 20х_А + 30х_В. За таким планом раціон містить 2х_А + 5х_В одиниць вітаміну А, за вимогою задачі 2х_А + 5х_В ≥ 9. Аналогічно для вітаміну В 3х_А + 2х_В ≥ 8. Змінні х_А і х_В повинні бути невід’ємними, оскільки це кількості продукції. Отже математична модель формулюється так: треба знайти такі значення змінних х_А та х_В , за яких задовольняється система нерівностей

і цільова функція f = 20х_А + 30х_В набуває найменшого можливого значення.

У загальному вигляді задача про раціон традиційно формулюється так. У господарстві є n різних кормів, кожен з яких містить m різних поживних речовин. Відомо, що одиниця j – го корму коштує с_j грошових одиниць (j = 1, 2, …, n) і містить a_ij одиниць і – ої поживної речовини (і = 1, 2, …, m). Треба скласти раціон так, щоб він задовольняв мінімальну потребу b_i (і = 1, 2, …, m) у кожній речовині при найменшій вартості раціону.

Позначимо кількість j – го корму в раціоні через х_j ≥ 0 (j = 1, 2, …, n), цільова функція f – це вартість раціону: f = . За таким планом раціон містить одиниць і – ої поживної речовини, звідки ≥ b_i (і = 1, 2, …, m). Отже ми отримуємо таку математичну модель: треба знайти такі значення змінних х_j (j = 1, 2, …, n), за яких задовольняється система нерівностей

і цільова функція f = набуває найменшого можливого значення.

3. Транспортна задача. Нехай з трьох пунктів відправлення Р₁, Р₂ , Р₃ треба перевезти однорідний вантаж до трьох пунктів призначення М₁, М₂ , М₃, в тому числі з пункту Р₁ – 12 т, з пункту Р₂ – 8 т, з пункту Р₃ – 10 т. Вантаж повинен надійти за призначенням у пункт М₁ – 6 т, пункт М₂ – 9 т, пункт М₃ – 15 т. Вартість перевезення тони вантажу з пункту Р_i до пункту М_j (i, j = 1,2,3) наведена у наступній таблиці.

Пункт відправлення	Пункт призначення
	М1	М2	М3
Р1	1	3	4
Р2	2	5	3
Р3	6	7	4

Треба, щоби весь вантаж був вивезений з пунктів відправлення, повністю був задоволений попит пунктів призначення і загальна вартість перевезень була мінімальною.

Побудуємо математичну модель цієї задачі. Позначимо через х_ij вагу вантажу (в тонах), запланованого для перевезення з пункту Р_i до пункту М_j (i, j = 1,2,3). Вартість перевезення багажу дорівнює f = х₁₁ + 3х₁₂ + 4х₁₃ + 2х₂₁ + 5х₂₂ + 3х₂₃ + 6х₃₁ + 7х₃₂ + 4х₃₃ – цільова функція задачі. Весь вантаж буде вивезений з пунктів відправлення, якщо х₁₁ + х₁₂ + х₁₃ = 12, х₂₁ + х₂₂ + х₂₃ = 8, х₃₁ + х₃₂ + х₃₃ = 10. Попит пунктів призначення буде повністю задоволений, якщо х₁₁ + х₂₁ + х₃₁ = 6, х₁₂ + х₂₂ + х₃₂ = 9, х₁₃ + х₂₃ + х₃₃ = 15. Отже, серед невід’ємних розв’язків системи

треба знайти такий, за якого функція f набуває найменшого значення.

У загальному випадку транспортну задачу звичайно формулюють так. Нехай однорідний вантаж, що знаходиться у m постачальників у кількості а_i (і = 1, 2, …, m) одиниць відповідно, треба перевезти n споживачам у кількості b_j (j = 1, 2, …, n) одиниць. Вартість перевезення одиниці вантажу від і – го постачальника до j – го споживача становить с_ij одиниць. Спланувати перевезення вантажу так, щоби весь вантаж був вивезений від постачальників, повністю був задоволений попит споживачів і вартість перевезень була мінімальною.

Позначимо через х_ij кількість одиниць вантажу, запланованого для перевезення від постачальника і до споживача j. Математична модель транспортної задачі має такий вигляд. Знайти найменше значення функції f = за обмежень

У всіх наведених прикладах цільова функція f є лінійною, а множина допустимих розв’язків оптимізаційної задачі визначається системою лінійних рівнянь і нерівностей.

Означення 2. Оптимізаційна задача (f, V, Ω), у якій цільова функція f є лінійною на V, а Ω є множиною розв’язків деякої системи лінійних рівнянь і нерівностей називають задачею лінійного програмування. Систему лінійних рівнянь і нерівностей, яка визначає Ω, називають системою обмежень задачі лінійного програмування.