Питання, тести
У які з m рівнянь CЛР треба підставити упорядковану сукупність n чисел, щоб довести, що вона є розв’язком цієї системи ?
А |
у перше з них |
Б |
у довільне рівняння |
В |
у всі рівняння |
Г |
у достатню кількість рівнянь |
2. У CЛР
2х1 – 3х2 + 4х3 = 2
х1 – 2х2 + х3 = – 1
3х1 – х2 + 2х3 = 0
коефіцієнт а23 дорівнює
А |
Б |
В |
Г |
1 |
– 1 |
2 |
– 2 |
3. Елементарні операції над СЛР – це
А |
Переміна місцями двох рівнянь |
Б |
Переміна місцями двох змінних |
В |
Множення обох частин рівняння на деяке число |
Г |
Множення обох частин рівняння на деяке число, відмінне від нуля |
Д |
Додавання до обох частин деякого рівняння відповідних частин іншого рівняння, помножених на число |
Е |
Віднімання від обох частин деякого рівняння відповідних частин іншого рівняння, помножених на число |
4. СЛР може мати таку кількість розв’язків
А |
Б |
В |
Г |
0 |
1 |
2 |
безліч |
5. В результаті кроку методу Гаусса отримаємо СЛР, у якій у порівнянні з СЛР, отриманій на попередньому кроці
А |
на одну змінну менше при тій же кількості рівнянь |
Б |
на одне рівняння менше при тій же кількості змінних |
В |
на одне рівняння та на одну змінну менше |
Г |
на одну змінну менше та на одне рівняння більше |
Результатом методу Гаусса є зведення даної СЛР до рівносильної їй системи
А |
трикутної форми |
Б |
діагональної форми |
В |
форми, що залежить від модифікації методу |
Г |
форми, що залежить від ходу методу (прямого чи зворотного) |
Нехай задана СЛР . Матриця цієї системи – це
А:
|
A |
B |
C |
D |
1 |
3,9 |
1,25 |
-0,98 |
4,905 |
2 |
0,74 |
3,45 |
-0,84 |
6,031 |
3 |
-0,65 |
1,18 |
2,38 |
10,134 |
Б:
|
A |
B |
C |
D |
1 |
4,905 |
3,9 |
1,25 |
-0,98 |
2 |
6,031 |
0,74 |
3,45 |
-0,84 |
3 |
10,134 |
-0,65 |
1,18 |
2,38 |
В:
|
A |
B |
C |
1 |
3,9 |
1,25 |
-0,98 |
2 |
0,74 |
3,45 |
-0,84 |
3 |
-0,65 |
1,18 |
2,38 |
Г:
|
A |
B |
C |
1 |
1,25 |
-0,98 |
4,905 |
2 |
3,45 |
-0,84 |
6,031 |
3 |
1,18 |
2,38 |
10,134 |
Розширена матриця даної СЛР задана такою таблицею:
|
A |
B |
C |
D |
1 |
x1 |
x2 |
x3 |
b |
2 |
3,9 |
1,25 |
-0,98 |
4,905 |
3 |
0,74 |
3,45 |
-0,84 |
6,031 |
4 |
-0,65 |
1,18 |
2,38 |
10,134 |
Тоді перший крок алгоритму Гаусса реалізує така електронна таблиця:
А:
|
A |
B |
C |
D |
6 |
= A2/$A$2 |
→ |
→ |
→ |
7 |
= A3 – A6*A3 |
→ |
→ |
→ |
8 |
= A4 – A6*A4 |
→ |
→ |
→ |
Б:
|
A |
B |
C |
D |
6 |
= A2/$A$2 |
→ |
→ |
→ |
7 |
= A3 – A6*$A$3 |
→ |
→ |
→ |
8 |
= A4 – A6*$A$4 |
→ |
→ |
→ |
В:
|
A |
B |
C |
D |
6 |
= A2/$A$2 |
→ |
→ |
→ |
7 |
= A3 – A2*A3 |
→ |
→ |
→ |
8 |
= A4 – A6*A4 |
→ |
→ |
→ |
Г:
|
A |
B |
C |
D |
6 |
= A2/$A$2 |
→ |
→ |
→ |
7 |
= A3 – A2*$A$3 |
→ |
→ |
→ |
8 |
= A4 – A6*$A$4 |
→ |
→ |
→ |
В результаті алгоритму Гаусса отримана така розширена матриця:
|
A |
B |
C |
D |
14 |
1 |
0 |
0 |
1,4 |
15 |
0 |
1 |
0 |
2,3 |
16 |
0 |
0 |
1 |
3,5 |
Тоді розв’язком даної СЛР є
А |
Б |
В |
Г |
|
|
|
розв’язок не є визначеним |
Дана розширена матриця деякої СЛР:
|
A |
B |
C |
D |
Е |
1 |
1 |
-2 |
3 |
-2 |
3 |
2 |
2 |
-3 |
1 |
-2 |
-2 |
3 |
4 |
-1 |
2 |
-1 |
0 |
Тоді це система трьох лінійних рівнянь з
А |
Б |
В |
Г |
двома змінними |
трьома змінними |
чотирма змінними |
кількість змінних не є визначеною |
Розширена матриця даної СЛР задана такою таблицею:
|
A |
B |
C |
D |
Е |
1 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
b |
2 |
1 |
-2 |
3 |
-2 |
3 |
3 |
2 |
-3 |
1 |
-2 |
-2 |
4 |
4 |
-1 |
2 |
-1 |
0 |
Тоді останній крок алгоритму Гаусса реалізує така електронна таблиця:
А:
|
A |
B |
C |
D |
E |
10 |
← |
← |
= C10 – C16*C10 |
→ |
→ |
11 |
← |
← |
= C11 – C16*C11 |
→ |
→ |
12 |
← |
← |
= C12/$C$12 |
→ |
→ |
Б:
|
A |
B |
C |
D |
E |
10 |
← |
← |
= C10 – C16*$C$10 |
→ |
→ |
11 |
← |
← |
= C11 – C16*$C$11 |
→ |
→ |
12 |
← |
← |
= C12/$C$12 |
→ |
→ |
В:
|
A |
B |
C |
D |
E |
10 |
← |
← |
← |
= D10 – D16*$D$10 |
→ |
11 |
← |
← |
← |
= D11 – D16*$D$11 |
→ |
12 |
← |
← |
← |
= D12/$D$12 |
→ |
Г:
|
A |
B |
C |
D |
E |
10 |
← |
← |
← |
= D10 – D16*D10 |
→ |
11 |
← |
← |
← |
= D11 – D16*D11 |
→ |
12 |
← |
← |
← |
= D12/$D$12 |
→ |
В результаті алгоритму Гаусса отримана така розширена матриця:
|
A |
B |
C |
D |
Е |
14 |
1 |
0 |
0 |
0,04 |
-0,68 |
15 |
0 |
1 |
0 |
0,6 |
0,8 |
16 |
0 |
0 |
1 |
-0,28 |
1,76 |
Тоді загальним розв’язком даної СЛР є
А |
Б |
В |
Г |
|
|
|
|
В результаті алгоритму Гаусса отримана така розширена матриця:
|
A |
B |
C |
D |
17 |
1 |
0 |
0 |
1 7/12 |
18 |
0 |
1 |
0 |
1 1/3 |
19 |
0 |
0 |
1 |
- 1/12 |
20 |
0 |
0 |
0 |
5 1/3 |
Тоді загальним розв’язком даної СЛР є
А |
Б |
В |
Г |
|
|
|
розв’язку не існує |
Наступна СЛР методом Гаусса зведена до такої діагональної форми:
14 |
1 |
0 |
-0,5 |
6,5 |
15 |
0 |
1 |
-0,5 |
-1,5 |
16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Скільки розв’язків має дана система?
А |
Б |
В |
Г |
0 |
1 |
2 |
безліч |
Нехай числа 3, – 5, – 2 задані у чарунках А1, А4, А7 відповідно; матриці
,
і
у діапазонах А2:С3, А5:С6, А8:С9 відповідно
так, як указано в наступній таблиці
|
A |
B |
C |
1 |
3 |
|
|
2 |
3 |
-5 |
4 |
3 |
0 |
4 |
0 |
4 |
-5 |
|
|
5 |
-3 |
-8 |
-5 |
6 |
0 |
9 |
-2 |
7 |
-2 |
|
|
8 |
3 |
-2 |
4 |
9 |
0 |
4 |
5 |
Тоді для підрахунків матриці X = у діапазоні А11:С12 можна використати таку таблицю:
А:
|
A |
B |
C |
11 |
= $А$1*А2+$А$4*А5+$А$7*А8 |
|
|
12 |
|
|
|
Б:
|
A |
B |
C |
11 |
= $А$1*А2–$А$4*А5–$А$7*А8 |
|
|
12 |
|
|
|
В:
|
A |
B |
C |
11 |
=А1*А2–А4*А5–А7*А8 |
|
|
12 |
|
|
|
Г:
|
A |
B |
C |
11 |
=3*A2–5*A5–2*A8 |
|
|
12 |
|
|
|
Добуток матриці у діапазоні А1:В3 на матрицю у діапазоні D1:D3 – це
А |
Б |
В |
Г |
Д |
3 2 матриця |
2 3 матриця |
3 3 матриця |
2 2 матриця |
такої матриці не існує |
Нехай А – 3 3 матриця, А = , АЕ – 3 6 матриця,
АЕ =
.
Зведемо матрицю АЕ до діагональної
форми методом Гаусса: вона дістане
вигляд ЕВ =
,
де В – деяка 3 3
матриця. Нехай Е – діагональна 3
3 матриця, Е =
.
Тоді
А |
Б |
В |
Г |
Д |
А В = Е |
В А = Е |
В = А-1 |
А = В-1 |
матриці А В не існує |
18. Задамо в електронній таблиці матрицю
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
1 |
4,05 |
-0,93 |
-0,41 |
1 |
0 |
0 |
2 |
1,18 |
3,78 |
-0,87 |
0 |
1 |
0 |
3 |
-0,96 |
-1,02 |
3,68 |
0 |
0 |
1 |
Зведемо цю матрицю до діагональної форми методом Гаусса:
13 |
1 |
0 |
0 |
0,236737 |
0,069816 |
0,042881 |
14 |
0 |
1 |
0 |
-0,06376 |
0,263775 |
0,055257 |
15 |
0 |
0 |
1 |
0,044086 |
0,091324 |
0,298241 |
Тоді для матриць А = у діапазоні А1:С3 і В у діапазоні D13:F15
А |
Б |
В |
Г |
Д |
А В = Е |
В А = Е |
В = А-1 |
А = В-1 |
матриці А В не існує |
19. Точними методами є
А |
метод Гаусса розв’язання СЛР |
Б |
метод Ньютона розв’язання рівняння з одною змінною |
В |
Знаходження
коренів квадратного рівняння за
формулою
|
Г |
Знаходження числа, оберненого до числа 1 + λ за формулою (1 + λ)-1 = 1 – λ |
20. Ітераційними методами є
А |
метод Гаусса розв’язання СЛР |
Б |
метод Ньютона розв’язання рівняння з одною змінною |
В |
Знаходження коренів квадратного рівняння за формулою |
Г |
Знаходження числа, оберненого до числа 1 + λ за формулою (1 + λ)-1 = 1 – λ |
Нехай 3 3 матриця С знаходиться в діапазоні А12:С14; вектор b у діапазоні А16:С16 (у А15:С15 нульові значення).
Тоді ітераційний процес хk = Схk-1 + b (k = 1, 2, … ) визначається такими формулами
А:
А17 = $А$16 + СУММПРОИЗВ($А$12:$С$12;А16:С16);
В17 = $В$16 + СУММПРОИЗВ($А$13:$С$13;А16:С16);
С17 = $С$16 + СУММПРОИЗВ($А$14:$С$14;А16:С16).
У наступні рядки стовпців А, В, С ці формули треба копіювати.
Б:
А17 = А16 + СУММПРОИЗВ($А$12:$С$12;А16:С16);
В17 = В16 + СУММПРОИЗВ($А$13:$С$13;А16:С16);
С17 = С16 + СУММПРОИЗВ($А$14:$С$14;А16:С16).
У наступні рядки стовпців А, В, С ці формули треба копіювати.
В:
А17 = $А$16 + СУММПРОИЗВ($А$12:$С$12;А15:С15);
В17 = $В$16 + СУММПРОИЗВ($А$13:$С$13;А15:С15);
С17 = $С$16 + СУММПРОИЗВ($А$14:$С$14;А15:С15).
У наступні рядки стовпців А, В, С ці формули треба копіювати.
Г:
А17 = $А$16 + СУММПРОИЗВ(А12:С12;А16:С16);
В17 = $В$16 + СУММПРОИЗВ(А13:С13;А16:С16);
С17 = $С$16 + СУММПРОИЗВ(А14:С14;А16:С16).
У наступні рядки стовпців А, В, С ці формули треба копіювати.