3. Похибки розв'язку.

Похибка розв'язку задачі складається з 1) похибки математичної моделі, 2) неусувної похибки, 3) похибки методу і 4) обчислювальної похибки.

Похибка математичної моделі пов'язана з тим, що звичайно модель описує явище наближено, з припущеннями і спрощеннями.

Неусувна похибка зумовлена похибками у вхідних даних задачі.

Похибка методу пов'язана з необхідністю для обчислення на комп’ютері наближено замінити неперервну модель дискретною або з неминучим обривом нескінченного процесу після скінченої кількості ітерацій. Похибку, яку дістають від заміни неперервної моделі дискретною, називають похибкою дискретизації (або похибкою апроксимації). Похибку, спричинену обривом ітераційного процесу, називають похибкою збіжності. Наприклад, якщо ми отримуємо числове значення sin x, обчислюючи його за допомогою ряду Тейлора , то ми вимушені будемо обірвати процес обчислень на якомусь кроці k. Оскільки в даному випадку знаки ряду чергуються, то, як відомо, модуль наступного члена ряду є абсолютною похибкою такого наближення, тобто похибкою збіжності.

Обчислювальні похибки – це похибки округлення чисел. Навіть якщо нема всіх інших вищезгаданих похибок, ця нехай вкрай мала погрішність є неминучою при обчисленнях. Річ в тім, що на комп’ютері операції виконують лише з певною кількістю значущих цифр, заданою його технічними характеристиками. У результаті виконання мільйонів операцій, кожна з яких вносить дуже маленьку похибку округлення, сумарна похибка принципово може значно перевищити результат обчислень. Проте величина таких похибок випадкова, вони мають різні знаки і компенсують одна одну. Як випливає з центральної граничної теореми теорії ймовірностей при N операціях математичне сподівання сумарної похибки приблизно дорівнює , де ε – середня обчислювальна похибка одної операції. Якщо немає систематичних причин, то нагромадження похибок округлення незначне.

Систематичною причиною обчислювальних похибок є віднімання близьких за величиною чисел. Наприклад, розглянемо квадратне рівняння х² – 140х + 1 = 0. Його корені х_1,2 = 70 . Будемо вважати, що всі числа мають 4 значущі цифри у десятковій системі числення, менші розряди відкидаються. Після округлення отримуємо , менший корінь х₂ = 70 – 69,99 = 0,01. Тут залишилась одна значуща цифра. Це ж саме х₂ можна знайти, “позбувшись ірраціональності у чисельнику”:

х₂ = 0,00714285… .

Тепер результат має 4 значущі цифри, точність значно вище. Річ в тім, що в перший раз було віднімання близьких за величиною чисел: при цьому зникають вірні значущі цифри.

Втрата точності може статися і при додаванні до великих чисел відносно малих. Для спрощення у наступному прикладі будемо вважати, що всі числа мають 2 значущі цифри у десятковій системі числення, менші розряди відкидаються. Нехай а₁ = 0,75, а₂ = 0,024, а₃ = 0,0072. Тоді а₂ + а₃ = 0,0312 ≈ 0,031, а₁ + (а₂ + а₃) ≈ 0,78. З іншого боку а₁ + а₃ = 0,7572 ≈ 0,75, (а₁ + а₃ ) + а₂ ≈ 0,75 + 0,024 = 0,774 ≈ 0,77. У другому випадку вірні цифри числа а₃ були втрачені через те, що воно додавалося до надто великого для нього а₁. Отже, взагалі для зменшення похибки додавати числа варто в порядку їх зростання.

Зауважимо, що в даному прикладі наближення а₁ + (а₂ + а₃) не дорівнює наближенню (а₁ + а₃ ) + а₂ : у машинній арифметиці закони алгебри не завжди виконуються точно.

Не можна ділити на числа близькі до нуля, бо навіть якщо абсолютна похибка Δа числа а дуже мала після ділення на близьке до нуля число b отримаємо велику абсолютну похибку Δа/ b числа а/ b. Дуже важливо при програмуванні обчислювальних алгоритмів уникати систематичних причин нагромадження похибок округлення: як бачимо на прикладах, ніщо тоді не гарантує малості сумарної обчислювальної похибки.