§ 2. Основні поняття

1. Похибки наближень.

Означення 1. Нехай а – точне значення деякої величини, а^* - відоме наближення до нього. Абсолютною похибкою (погрішністю) наближення а^* називають таку величину Δ(а^*), для якої . Відносною похибкою (погрішністю) називають таку величину δ(а^*), що .

Відносну погрішність часто виражають у відсотках. Звичайні позначення:

а = а^* Δ(а^*), а = а^*(1 δ(а^*)).

Так, наприклад, запис а = 1,123 0,004 або а = 1,123 4 ∙ 10^-3 означає, що

1,123 – 0,004 а 1,123 + 0,004. А записи а = 1,123(1 0,004), а = 1,123(1 4 ∙ 10^-3) або а = 1,123(1 0,4%) означають, що (1 – 0,004) ∙ 1,123 а (1 + 0,004) ∙ 1,123.

Означення 2. Значущими цифрами числа називають всі цифри у його запису, починаючи з першого ненульового зліва. Значущу цифру наближення називають вірною, якщо його абсолютна похибка не перевищує одиниці розряду, що відповідає цій цифрі.

Наприклад, у чисел 0.03045 і 0,03045000 значущими цифрами є підкреслені. У першому випадку число значущих цифр дорівнює 4, у другому 7. У числа а^* = 0,03045 вірні підкреслені числа, якщо Δ(а^*) = 0,00003; так само у числа а^* = 0,03045000, якщо Δ(а^*) = 0,0000007.

2. Граничні похибки. Похибки функції.

Граничною (абсолютною чи відносною) похибкою називають найменшу можливу похибку наближення, яку можна отримати, виходячи з усіх відомих даних.

Так, якщо відомо точне значення деякої величини , то абсолютною граничною похибкою його наближення х* є Δ(х*) =│ – х*│. Проте, точне значення наближення звичайно не є відомим.

Нехай – диференційовна функція, х₁, х₂, … , х_n – наближення аргументів функції, = Δ(х_i) – граничні абсолютні похибки наближень.

Розглянемо задачу: визначити граничну абсолютну Δ(u) і граничну відносну δ(u) похибки наближення функції , якщо граничні абсолютні похибки наближень х_i аргументів цієї функції є відомими.

Звичайно – дуже малі величини, будемо тут вважати їх достатньо малими для того, щоб у формулі Тейлора

f(х₁ + Δх₁, х₂ + Δх₂,…, х_n + Δх_n) = f(х₁, х₂, … , х_n) + df(х₁, х₂, … , х_n) + r,

(де df(х₁, х₂, … , х_n) = ), залишковий член r – вищого порядку малості відносно Δх_i – уже не впливав на вірні значущі цифри наближення f(х₁, х₂, … ,х_n).

(Більш докладно: r – це сума доданків вигляду ∙ Δх_iΔх_j і якщо Δх_i ~ 10^-12, то Δх_iΔх_j ~ 10^-24). Нехай = х₁ + α₁Δх₁ , = х₂ + α₂Δх₂ , … , = х_n + α_nΔх_n , де α_i 1 – це точні значення аргументів функції. Тоді

 f( , , …, ) – f(х₁, х₂, … , х_n) ≈

Оскільки остання нерівність стає рівністю при умові , α_i = 1 при кожному i = 1, 2, …, n , яка для деяких наближень х₁, х₂, … , х_n фактично і здійснюється, то оцінку

 f( , , …, ) – f(х₁, х₂, … , х_n) (1)

різниці між точним і наближеним значеннями функції у даній задачі не можна покращити. Отже, гранична абсолютна похибка Δ(u) дорівнює

Δ(u) = .

Розділивши обидві частини нерівності (1) на u =   будемо мати

Отже, відносною похибкою функції при даних задачі є

(2)

Простими висновками з (1) і (2) є наступні твердження.

1. Гранична абсолютна похибка суми або різниці наближень дорівнює сумі їх граничних абсолютних похибок: Δ(a* b*) = Δ(a*) + Δ(b*) (при f(x₁ , x₂) = x₁ ± x₂ ).

2. Гранична відносна похибка добутку або частки наближень приблизно дорівнює сумі їх граничних відносних похибок: δ(a* ∙ b*) = δ(a*/b*) ≈ δ(a*) + δ(b*) (при f(x₁ , x₂) = x₁ ∙ x₂ або f(x₁ , x₂) = x₁ / x₂).

Звичайно, ці твердження можна отримати і безпосередньо. Наприклад, якщо

а = а*(1 δ(а*)), b = b* (1 δ(b*)), то (1 δ(а*)) ∙ (1 (δ(b*) – δ²(b*) + δ³(b*) – … ) ≈ (1 δ(а*))∙(1 (δ(b*)) ≈ (1 ( δ(а*) + δ(b*)).