- •Основи чисельних методів математики (з використанням Excel) Передмова
- •Розділ 1. Методи обчислень: предмет, основні поняття та застосування
- •§ 1. Предмет і застосування
- •§ 2. Основні поняття
- •1. Похибки наближень.
- •2. Граничні похибки. Похибки функції.
- •3. Похибки розв'язку.
- •4. Стійкість і коректність.
- •Питання, тести
- •Розділ 2. Інтерполяція функцій
- •§1. Задача інтерполювання
- •§2. Інтерполяційна формула Лагранжа
- •§3. Поділені різниці. Формула Ньютона з поділеними різницями
- •§4. Інтерполяційна формула за допомогою Excel
- •§5. Інтерполювання за схемою Ейткіна
- •§6. Скінчені різниці. Інтерполяційні формули Ньютона для рівновіддалених вузлів
- •§7. Інтерполювання із скінченими різницями за допомогою Excel
- •§8. Інші методи інтерполювання
- •Питання, тести
- •Завдання
- •Розділ 3. Чисельне диференціювання та інтегрування.
- •§ 1. Однобічні формули чисельного диференціювання
- •§ 2. Оцінки похибки чисельного диференціювання
- •§ 3. Чисельне інтегрування. Квадратурні формули
- •§ 4. Квадратурні формули Ньютона – Котеса
- •§ 5. Узагальнені квадратурні формули.
- •§ 6. Метод подвійного перерахунку.
- •1. R2n ( f ) ≈ (правило Рунге) (14)
- •§ 7. Метод кратного перерахунку за допомогою Excel
- •Питання, тести
- •Завдання
- •Розділ 4. Чисельні методи розв‘язування рівнянь з однією змінною
- •§ 1. Відокремлення коренів
- •§ 2. Метод дихотомії (поділу відрізка пополам)
- •§ 3. Ітераційні методи та оператор стиску.
- •§ 4. Похибки ітераційного процесу
- •§ 5. Реалізація методу простої ітерації за допомогою електронних таблиць
- •§ 6. Метод Ньютона. Порядок збіжності ітераційного процесу.
- •§ 7. Метод лінійного інтерполювання.
- •§ 8. Інші приклади ітераційних методів.
- •Питання, тести
- •Завдання
- •Розділ 5. Методи розв’язування систем лінійних рівнянь
- •§ 1. Метод Гаусса
- •Метод Гаусса в матричній формі
- •Елементарні операції над матрицею:
- •§ 2. Метод Гаусса за допомогою Excel
- •§ 3. Матричні операції в Excel
- •3. Множення матриць.
- •§ 4. Метод простої ітерації для слр
- •§ 5. Метод Зейделя
- •Питання, тести
- •Завдання
- •Розділ 6. Методи лінійного програмування
- •§ 1. Оптимізаційні задачі. Математичне програмування
- •§ 2. Геометричний зміст задач лінійного програмування. Графічний метод
- •§3. Канонічна форма задачі лінійного програмування. Опорні розв’язки
- •§4. Симплекс – таблиця
- •§5. Симплекс – метод.
- •§6. Розв’язування задач лінійного програмування за допомогою excel
- •§7 Приклади
- •§8. Пошук початкового опорного розв’язку. Метод штучного базису
- •Властивості допоміжної задачі.
- •Питання, тести
- •Завдання
- •Розділ 7. Чисельні методи розв’язування звичайних диференціальних рівнянь
- •§ 1. Метод Ейлера
- •§ 2. Метод Ейлера за допомогою Excel
- •§ 3. Методи Рунге – Кутта
- •§ 4. Подвійний перерахунок для методів Рунге – Кутта
- •§ 5. Кратний перерахунок для методів Рунге – Кутта за допомогою Excel
- •§ 6. Методи Рунге – Кутта з вищими порядками похибки
- •Питання, тести
- •Завдання
- •Іменний покажчик
- •Предметний покажчик
- •Література
Питання, тести
1. Однобічні формули чисельного диференціювання – це
А |
f ′(х0) ≈ L′n(х0) = Δу0 = ( f(х1) – f(х0) ) (n = 1) |
Б |
f ′(х0) ≈ L′n(х0) = Δу1 = ( f(х2) – f(х1) ) (n = 2) |
В |
f ′(х0) ≈ L′n(х0) = Δу2 = ( f(х3) – f(х2) ) (n = 3) |
Г |
f ′(х0) ≈ L′n(х0) = ( Δу0 – Δ2у0 + Δ3у0 + … + Δnу0 ) (загальний випадок) |
2. Нехай значення скінчених різниць Δkу0 знаходяться у діапазоні А1:F1 (Δ1у0 у чарунці В1, Δ2у0 у чарунці С1, … ), крок інтерполяції h = 0,1. Тоді наближене значення похідної f ′(х0) згідно з однобічними формулами чисельного диференціювання
f ′(х0) ≈ L′n(х0) = ( Δу0 – Δ2у0 + Δ3у0 + … + Δnу0 )
обчислюється такою таблицею:
А:
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
2 |
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
3 |
(–1)^(n+1)/n |
= (–1)^В2/B2 |
→ |
→ |
→ |
→ |
4 |
un(x0) |
= В1*B3 |
→ |
→ |
→ |
→ |
5 |
f ′(х0) |
= 0,1*B4 |
= B5 + 0,1*C4 |
→ |
→ |
→ |
Б:
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
2 |
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
3 |
(–1)^(n+1)/n |
= (–1)^C2/B2 |
→ |
→ |
→ |
→ |
4 |
un(x0) |
= В1*B3 |
→ |
→ |
→ |
→ |
5 |
f ′(х0) |
= 10*B4 |
= B5 + 10*C4 |
→ |
→ |
→ |
В:
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
2 |
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
3 |
(–1)^(n+1)/n |
= (–1)^В2/B2 |
→ |
→ |
→ |
→ |
4 |
un(x0) |
= А1*B3 |
→ |
→ |
→ |
→ |
5 |
f ′(х0) |
= 10*B4 |
= B5 + 10*C4 |
→ |
→ |
→ |
Г:
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
2 |
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
3 |
(–1)^(n+1)/n |
= (–1)^C2/B2 |
→ |
→ |
→ |
→ |
4 |
un(x0) |
= А1*B3 |
→ |
→ |
→ |
→ |
5 |
f ′(х0) |
= 10*B4 |
= B5 + 10*C4 |
→ |
→ |
→ |
3. Нехай значення скінчених різниць Δkу0 знаходяться у діапазоні А1:F1 (Δ1у0 у чарунці В1, Δ2у0 у чарунці С1, … ), крок інтерполяції h = 0,1. Наближене значення похідної f ′(х0) обчислене згідно з однобічними формулами чисельного диференціювання
f ′(х0) ≈ L′n(х0) = ( Δу0 – Δ2у0 + Δ3у0 + … + Δnу0 )
при n = 4 такою таблицею:
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
2 |
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
3 |
(–1)^(n+1)/n |
= (–1)^C2/B2 |
→ |
→ |
→ |
→ |
4 |
un(x0) |
= В1*B3 |
→ |
→ |
→ |
→ |
5 |
f ′(х0) |
= 10*B4 |
= B5 + 10*C4 |
→ |
→ |
→ |
знаходиться у чарунці
А |
Б |
В |
Г |
E5 |
E4 |
F5 |
його нема у таблиці |
4. Нехай значення скінчених різниць Δkу0 знаходяться у діапазоні А1:F1 (Δ1у0 у чарунці В1, Δ2у0 у чарунці С1, … ), крок інтерполяції h = 0,1. Наближене значення похідної f ′(х0) обчислене згідно з однобічними формулами чисельного диференціювання
f ′(х0) ≈ L′n(х0) = ( Δу0 – Δ2у0 + Δ3у0 + … + Δnу0 )
при n = 4 такою таблицею:
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
2 |
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
3 |
(–1)^(n+1)/n |
= (–1)^C2/B2 |
→ |
→ |
→ |
→ |
4 |
un(x0) |
= В1*B3 |
→ |
→ |
→ |
→ |
5 |
f ′(х0) |
= 10*B4 |
= B5 + 10*C4 |
→ |
→ |
→ |
В результаті дістали значення:
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
2 |
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
3 |
(-1)^(n+1)/n |
1 |
-0,5 |
0,333333 |
-0,25 |
0,2 |
4 |
un(x0) |
-0,090909 |
-0,00758 |
-0,00117 |
-0,00025 |
-6,7E-05 |
5 |
f ' (x0) |
-0,909091 |
-0,98485 |
-0,9965 |
-0,999001 |
-0,99967 |
Тоді шукане значення дорівнює
А |
Б |
В |
Г |
-0,999001 |
-0,00025 |
-0,99967 |
його нема у таблиці |
При застосуванні однобічних формул чисельного диференціювання похибка із зменшенням кроку методу h
А |
зменшується |
Б |
зменшується до деякого значення h0 |
В |
збільшується |
Г |
збільшується, починаючи з деякого h0 |
Д |
зменшується, якщо використати достатньо малі порядки скінчених різниць n |
6. Нехай функція f(x) лінійна на відрізку [a; b]. Тоді похибка квадратурної формули буде найменшою можливою, якщо для наближеного обчислення застосувати
А |
формулу прямокутників |
Б |
формулу трапецій |
В |
обидві ці формули дають однаковий результат |
Г |
довільну квадратурну формулу |
Д |
найменше можливе значення на дасть жодна квадратурна формула |
Нехай функція f(x) лінійна на відрізку [a; b]. Тоді найменша можлива похибка квадратурної формули дорівнює
А |
1, якщо це формула прямокутників |
Б |
1, якщо це формула трапецій |
В |
обидві ці формули дають однаковий результат |
Г |
0 для довільної квадратурної формули |
Д |
найменше можливе значення на дасть жодна квадратурна формула |
Формулою Ньютона – Котеса називають квадратурну формулу, якщо
А |
вона має вигляд ≈ |
Б |
вона має вигляд ≈ |
В |
= ( ) і Di = |
Г |
вона є інтерполяційною та її вузли рівновіддалені |
Серед наступних квадратурних формул найкраща (тобто найменша) оцінка для залишкового члена у
А |
формули прямокутників |
Б |
формули трапецій |
В |
формули Сімпсона |
Г |
це залежить від підінтегральної функції |
Д |
це залежить від відрізку [a; b]. |
Залишковий член R( f ) квадратурної формули Ньютона – Котеса має найкращий (тобто найбільший) порядок відносно кроку інтегрування для
А |
формули прямокутників |
Б |
формули трапецій |
В |
формули Сімпсона |
Г |
це залежить від підінтегральної функції |
Д |
це залежить від відрізку [a; b]. |
Серед наступних узагальнених квадратурних формул при достатньо малих кроках інтегрування найкраща (тобто найменша) оцінка для залишкового члена у
А |
формули прямокутників |
Б |
формули трапецій |
В |
формули Сімпсона |
Г |
це залежить від підінтегральної функції |
Д |
це залежить від відрізку [a; b]. |
12. Залишковий член квадратурної формули Ньютона – Котеса має найбільший порядок відносно кроку інтегрування для
А |
формули трапецій |
Б |
формули Сімпсона |
В |
узагальненої формули трапецій |
Г |
узагальненої формули Сімпсона |
Д |
це залежить від підінтегральної функції |
13. Отримані оцінки наступного методу є апостеріорними
А |
методу трапецій |
Б |
методу Сімпсона |
В |
узагальненого методу трапецій |
Г |
узагальненого методу Сімпсона |
Д |
методу подвійного перерахунку |
Метод подвійного перерахунку ґрунтується на таких формулах:
А |
формулі трапецій |
Б |
формулі Сімпсона |
В |
правилі Рунге |
Г |
формулі екстраполяції за Річардсоном |
Д |
узагальненій формулі трапецій |
Е |
узагальненій формулі Сімпсона |
15. Формула правила Рунге – це
А |
≈ In,2n = I2n + |
Б |
R2n ( f ) ≈ |
В |
R2n ( f) ≈ ) |
Г |
R( f) ≈ ) |
16. Формула екстраполяції за Річардсоном – це
А |
≈ In,2n = I2n + |
Б |
R2n ( f ) ≈ |
В |
R2n ( f) ≈ ) |
Г |
R( f) ≈ ) |
Точне формулювання правила Рунге – це
А |
= In,2n = I2n + + О(hp+1) |
Б |
R2n ( f ) ≈ |
В |
R2n ( f) = ) |
Г |
R2n ( f ) = + О(hp+1) |
18. Точний варіант формули екстраполяції за Річардсоном – це
А |
= In,2n = I2n + + О(hp+1) |
Б |
R2n ( f ) ≈ |
В |
R2n ( f) = ) |
Г |
R2n ( f ) = + О(hp+1) |
19. У стовпці С наступної таблиці
|
A |
B |
С |
1 |
х |
f(x) |
к |
2 |
0 |
1 |
1 |
3 |
0,2 |
1,12349 |
2 |
4 |
0,4 |
1,028424 |
2 |
5 |
0,6 |
0,637322 |
2 |
6 |
0,8 |
-0,05983 |
2 |
7 |
1 |
-0,96537 |
1 |
знаходяться коефіцієнти Котеса
А |
формули трапецій |
Б |
узагальненої формули трапецій |
В |
формули Сімпсона |
Г |
узагальненої формули Сімпсона |
20. Коефіцієнти Котеса узагальненої формули Сімпсона знаходяться у стовпці С наступної таблиці:
А:
|
A |
B |
С |
1 |
х |
f(x) |
к |
2 |
0 |
1 |
1 |
3 |
0,2 |
1,12349 |
2 |
4 |
0,4 |
1,028424 |
2 |
5 |
0,6 |
0,637322 |
2 |
6 |
0,8 |
-0,05983 |
2 |
7 |
1 |
-0,96537 |
1 |
Б:
|
A |
B |
С |
1 |
х |
f(x) |
К |
2 |
0 |
0 |
1 |
3 |
0,5 |
0,790439 |
4 |
4 |
1 |
2,287355 |
1 |
В:
|
E |
F |
G |
1 |
х |
f(x) |
к |
2 |
0 |
0 |
1 |
3 |
0,25 |
0,317673 |
4 |
4 |
0,5 |
0,790439 |
6 |
5 |
0,75 |
1,443029 |
4 |
6 |
1 |
2,287355 |
1 |
Г:
|
J |
K |
L |
1 |
х |
f(x) |
к |
2 |
0,125 |
0,141275 |
4 |
3 |
0,25 |
0,317673 |
2 |
4 |
0,375 |
0,532923 |
4 |
5 |
0,5 |
0,790439 |
2 |
6 |
0,625 |
1,093106 |
4 |
7 |
0,75 |
1,443029 |
2 |
8 |
0,875 |
1,841241 |
4 |
21. У стовпці В наступної таблиці знаходяться наближені значення інтеграла функції, обчислені за узагальненою формулою трапецій з кроками h = 0,2 0,1 0,05 у чарунках В2, В3 і В4 відповідно. Така таблиця здійснює подвійний перерахунок цих даних:
A:
|
A |
B |
C |
D |
1 |
h |
I |
R |
In2n |
2 |
0,2 |
0,549344 |
|
|
3 |
0,1 |
0,563787 |
= (B3 – B2)/3 |
= B3 + C3 |
4 |
0,05 |
0,567381 |
|
|
Б:
|
A |
B |
C |
D |
1 |
h |
I |
R |
In2n |
2 |
0,2 |
0,549344 |
= (В2 – В3)/15 |
= В2 + С2 |
3 |
0,1 |
0,563787 |
|
|
4 |
0,05 |
0,567381 |
|
|
В:
|
A |
B |
C |
D |
1 |
h |
I |
R |
In2n |
2 |
0,2 |
0,549344 |
= (В2 – В3)/15 |
= В2 + С2 |
3 |
0,1 |
0,563787 |
|
|
4 |
0,05 |
0,567381 |
|
|
Г:
|
A |
B |
C |
D |
1 |
h |
I |
R |
In2n |
2 |
0,2 |
0,549344 |
|
|
3 |
0,1 |
0,563787 |
= (B3 – B2)/15 |
= B3 + C3 |
4 |
0,05 |
0,567381 |
|
|
21. У стовпці В наступної таблиці знаходяться наближені значення інтеграла функції, обчислені за узагальненою формулою трапецій з кроками h = 0,2 0,1 0,05 у чарунках В2, В3 і В4 відповідно. Ця таблиця здійснює подвійний перерахунок цих даних:
|
A |
B |
C |
D |
1 |
h |
I |
R |
In2n |
2 |
0,2 |
0,549344 |
|
|
3 |
0,1 |
0,563787 |
= (B3 – B2)/3 |
= B3 + C3 |
4 |
0,05 |
0,567381 |
|
|
В результаті обчислень отримали:
|
A |
B |
C |
D |
1 |
h |
I |
R |
In2n |
2 |
0,2 |
0,549344 |
|
|
3 |
0,1 |
0,563787 |
0,004814 |
0,568601 |
4 |
0,05 |
0,567381 |
0,001198 |
0,568578 |
Оцінка похибки для наближеного значення 0,563787 знаходиться у чарунці
А |
Б |
В |
Г |
С3 |
С4 |
А3 |
її нема у таблиці |
Оцінка похибки для наближеного значення 0,568578 знаходиться у чарунці
А |
Б |
В |
Г |
С3 |
С4 |
А4 |
її нема у таблиці |
22. У стовпці В наступної таблиці знаходяться наближені значення інтеграла функції, обчислені за узагальненою формулою Сімпсона з кроками h = 0,5 0,25 0,125 у чарунках В2, В3 і В4 відповідно. Така таблиця здійснює кратний перерахунок цих даних:
A:
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
1 |
h |
I |
R |
I |
R |
I |
2 |
0,5 |
0,908185 |
|
|
|
|
3 |
0,25 |
0,909254 |
= (B3 – B2)/3 |
= B3 + C3 |
|
|
4 |
0,125 |
0,909326 |
|
|
= (D4 – D3)/3 |
= D4 + E4 |
Б:
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
1 |
h |
I |
R |
I |
R |
I |
2 |
0,5 |
0,908185 |
= (В2 – В3)/7 |
= В2 + С2 |
= (D2 – D3)/15 |
D2 + E2 |
3 |
0,25 |
0,909254 |
|
|
|
|
4 |
0,125 |
0,909326 |
|
|
|
|
В:
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
1 |
h |
I |
R |
I |
R |
I |
2 |
0,5 |
0,908185 |
= (В2 – В3)/15 |
= В2 + С2 |
= (D2 – D3)/15 |
D2 + E2 |
3 |
0,25 |
0,909254 |
|
|
|
|
4 |
0,125 |
0,909326 |
|
|
|
|
Г:
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
1 |
h |
I |
R |
I |
R |
I |
2 |
0,5 |
0,908185 |
|
|
|
|
3 |
0,25 |
0,909254 |
= (B3 – B2)/15 |
= B3 + C3 |
|
|
4 |
0,125 |
0,909326 |
|
|
= (D4 – D3)/31 |
= D4 + E4 |