§ 5. Узагальнені квадратурні формули.

Точність квадратурної формули Ньютона – Котеса звичайно характеризують порядком її залишкового члена R( f ) стосовно степеня відстані між вузлами інтегрування h, тобто кроку інтегрування.

Означення 3. Залишковий член R( f ) квадратурної формули Ньютона – Котеса має порядок k (де k – натуральне число) відносно кроку інтегрування h, якщо існують такі сталі С, с > 0, що ch^k ≤ R( f ) ≤ Сh^k для всіх достатньо малих h.

Записують це так: R( f ) = О(h^k). Отже, залишковий член формули прямокутників має другий порядок: R( f ) = О(h²), формули трапецій третій: R( f ) = О(h³), формули Сімпсона п’ятий: R( f ) = О(h⁵). Якщо крок h достатньо малий, то квадратурна формула тим точніша, чим більшим є порядок її залишкового члена: з розглянутих найточнішою є формула Сімпсона. Проте, коли крок h не малий, довжина відрізку b – a наближається до одиниці, тоді розглянуті оцінки квадратурних формул стають неприйнятними. Якщо функцію f(х) задано на великому проміжку [a; b], то для обчислення застосовують відповідну узагальнену квадратурну формулу. Це означає, що відрізок [a; b] ділять на рівні відрізки і на кожному з них застосовують дану квадратурну формулу. Наприклад, розглянемо узагальнену формулу трапецій.

Нехай точки a = х₀ < х₁ < … < х_k < … < х_n = b ділять відрізок [a; b] на n рівних відрізків завдовжки h = (b – a)/n і до кожного з відрізків [х_k; х_k+1] застосуємо квадратурну формулу трапецій: ≈ ( f(х_k) + f(х_k+1)) (k = 0, 1, …, n – 1). Тоді = + ≈ ( f(х₀) + f(х₁)) + ( f(х₁) + f(х₂)) = ( f(х₀) + 2 f(х₁) + f(х₂)), = + ≈ ( f(х₀) + 2 f(х₁) + f(х₂)) + ( f(х₂) + f(х₃)) = ∙ ( f(х₀) + 2f(х₁) + 2f(х₂) + f(х₃)), … . Взагалі = ≈ = ( f(a) + 2 + f(b)). Отже, узагальнена формула трапецій:

≈ ( f(a) + 2 + f(b)). (10)

Згідно з оцінкою формули трапецій R( f) ≤ ) , на кожному з відрізків [х_k; х_k+1] маємо R_k( f) ≤ , звідки дістаємо таку оцінку узагальненої формули трапецій: R_у( f) ≤ R_k( f)  ≤ ≤ = n ∙ ) = ) (b – a), оскільки h = (b – a)/n. Отже, залишковий член узагальненої формули трапецій:

R_у (f) ≤ ) (b – a) = ) . (11)

Аналогічно R_у (f) ≥ ) (b – a) .

Узагальнена формула Сімпсона. Поділимо відрізок [a; b] на 2n рівних відрізків точками a = х₀ < х₁ < … < х_k < … < х_2n = b і до кожного з відрізків [х_2k; х_2k+2] завдовжки h = (b – a)/n застосуємо квадратурну формулу Сімпсона:

≈ (f (х_2k) + 4 f (х_2k+1) + f (х_2k+2)) (k = 0, 1, …, n – 1). Тоді = + ≈ ( f(х₀) + 4 f (х₁) + f(х₂)) + ( f(х₂) + 4 f (х₃) + f(х₄)) = ( f(х₀) + 4 f (х₁) + 2f(х₂) + 4 f (х₃) + f(х₄)). Взагалі = ≈ = ( f(a) + 4 + 2 + f(b)). Отже, узагальнена формула Сімпсона:

≈ ( f(a) + 4 + 2 + f(b)). (12)

Згідно з отриманою оцінкою формули Сімпсона R( f ) ≤ ) , на кожному з відрізків [х_2k; х_2k+2] маємо R_k( f) ≤ ) , звідки дістаємо таку оцінку:R_у( f) ≤ R_k( f)  ≤ ) ≤ = n ∙ = (b – a), оскільки h = (b – a)/n. Отже, оцінка похибки (залишкового члена) узагальненої формули Сімпсона:

R_у ( f) ≤ (b – a) = ) . (13)

Аналогічно R_у ( f) ≥ ) (b – a).

Як бачимо, залишковий член узагальненої квадратурної формули Сімпсона має порядок менший на одиницю від порядку неузагальненої формули Сімпсона, те ж саме стосується і формули трапецій. Не важко зрозуміти, що це залишиться справедливим і для будь – якої квадратурної формули Ньютона – Котеса.

Висновок. Для будь – якої квадратурної формули Ньютона – Котеса і довільного натурального n можна побудувати на відрізку [a; b] відповідну узагальнену квадратурну формулу, поділивши [a; b] на n рівних відрізків і на кожному з них застосувавши дану квадратурну формулу. Залишковий член такої узагальненої квадратурної формули має порядок k – 1, де k – порядок залишкового члена даної неузагальненої формули.

Проте, отримані тут апріорні оцінки узагальнених квадратурних формул, як правило, значно завищені (тобто ці формули насправді значно точніші, ніж це випливає з наведених апріорних оцінок безпосередньо). Крім того, іноді оцінити залишковий член квадратурної формули Ньютона – Котеса за апріорними формулами дуже важко або й неможливо (тоді, наприклад, коли функцію задано графічно чи таблично). Всі ці недоліки можна усунути, застосувавши метод подвійного перерахунку, який дозволяє отримувати апостеріорні (тобто отримані після і в результаті розрахунків) оцінки квадратурних формул.