§ 3. Чисельне інтегрування. Квадратурні формули

Якщо функція f(х) неперервна на відрізку [a; b] і відома її первісна F, то справедлива формула Ньютона – Лейбниця . Проте цією формулою неможливо скористатися, якщо первісну F не можна виразити у відомих (традиційно в елементарних) функціях, або якщо функцію f задано таблично або графічно. У цих випадках необхідно будувати методи для наближеного обчислення визначених інтегралів. Найчастіше застосовують квадратурні формули.

Означення 1. Квадратурні формули – це формули вигляду ≈ . Суму в правій частині формули називають квадратурною сумою, числа х_k і А_k називають відповідно вузлами і коефіцієнтами квадратурної формули. Різницю R_n( f) між визначеним інтегралом і квадратурною сумою R_n( f) = – називають залишковим членом або похибкою квадратурної формули.

Крім похибки методу, тобто залишкового члена R_n( f), треба враховувати й інші похибки

розв’язку, згадані в розділі 1. Це, по – перше, так звана неусувна похибка, яка зумовлена наближеними значеннями f(х_k). Якщо абсолютні похибки значень f(х_k) дорівнюють Δ, то абсолютна похибка квадратурної суми дорівнюватиме R₁ = Δ ∙ . Треба враховувати також похибку обчислення R₂, що виникає за рахунок округлення проміжних результатів. Отже, повна похибка чисельного інтегрування R дорівнює R = R_n( f) + R₁ + R₂.

Найпростіші квадратурні формули можна отримати з наочних міркувань. Так, якщо f(х) ≈ const, то на відрізку [a; b] можна покласти I = ≈ (b – a) f(μ), де μ – довільна точка на відрізку. Якщо у якості μ взяти середню точку відрізку, то отримаємо формулу прямокутників:

I = (b – a) f ( ).

Нехай функція f(х) близька до лінійної. Тоді природно замінити інтеграл площею трапеції з висотою b – a та основами f(a) і f(b).

f (a)

f (b)

a b

Рисунок 1.

Отримаємо формулу трапецій:

I = (b – a) .

З наочних міркувань ясно, що й формула прямокутників теж дає непоганий результат в цьому випадку: (b – a) f ( ) – це площа довільної трапеції з висотою b – a і середньою лінією f ( ). Більш складні квадратурні формули, як і формули чисельного диференціювання отримають за допомогою апарату інтерполювання. На цьому ж шляху можна отримати й оцінки похибки квадратурної формули.

§ 4. Квадратурні формули Ньютона – Котеса

Нехай обчислюється інтеграл і задані деякі d₀, d₁, …, d_n  [– 1; 1]. Побудуємо інтерполяційний многочлен Лагранжа L_n(х) степеня n, що співпадає з функцією f(x) в точках х_j = + d_j (j = 0, 1, …, n). Шукаємо ≈ . Звідси R_n( f) = – = . Різницю f(х) – L_n(х) можна оцінити, скориставшись оцінкою похибки інтерполяційного многочлена Лагранжа L_n(х) (теорема 1 розділу 2): R_n( f, x) = ω_n+1(х), де ξ = ξ(x) є [a; b], ω_n+1(х) = (x – x₀)(x – x₁)…(x – x_n). Звідси R_n( f) ≤ ) . Замінимо змінну в останньому інтегралі: х = + t, тоді (оскільки х_j = + d_j (j = 0, 1, …, n) ) отримуємо = D(d₀, d₁, …, d_n) ( )ⁿ⁺² , де

D (d₀, d₁, …, d_n) = . (6)

Отже,

R_n( f) ≤ ) D(d₀, d₁, …, d_n) ( )ⁿ⁺² . (7)

Нехай всі d_j різні. Тоді згідно з означенням 3 розділу

L_n(х) = f(x_i) .

Після тої ж заміни х = + t отримуємо

= ( ) , D_i = . (8)

Отже, побудована тим самим квадратурна формула має вигляд

≈ . (9)

Означення 2. 1) Квадратурну формулу (9), коефіцієнти якої D_i обчислюють за формулою (8) називають інтерполяційною. 2) Якщо вузли формули (9) рівновіддалені, то інтерполяційна квадратурна формула називається формулою Ньютона – Котеса, а її коефіцієнти D_i називаються коефіцієнтами Котеса.

Наведемо декілька елементарних квадратурних формул – прикладів цієї конструкції.

1. Формула прямокутників. Нехай n = 0, d₀ = 0. Тоді згідно з (6) D(d₀) = = 1, згідно з (8) D₀ = = 2. Отже, згідно з (9) маємо квадратурну формулу ≈ ∙ 2 ∙ f (х₀) = (b – a) ∙ f ( ) – саме ту, що і треба. Оцінка залишкового члена цієї квадратурної формули згідно з (7) R( f) ≤ ) ( )².

2. Формула трапецій. Нехай n = 1, d₀ = – 1, d₁ = 1. Тоді згідно з (6) D(d₀, d₁) = = = . Згідно з (8) D₀ = = = 1, D₁ = = 1. Отже, згідно з (9) справді маємо квадратурну формулу трапецій: ≈ ∙ (f (х₀) + f (х₁) ) = (b – a) (оскільки х₀ = – , х₁ = + ). Її оцінка згідно з (7) R( f) ≤ ) = ) .

Аналогічно можна отримати й оцінку R( f) ≥ ) .

3. Формула Сімпсона. Нехай n = 3, d₀ = – 1, d₁ = 0, d₂ = 1, d₃ = 0. Тоді згідно з (6)

D (d₀, d₁, d₂, d₃) = = = .

Згідно з теоремою 2.2 розділу L₃(x) – L₂(x) = f (x₀; x₁; x₂; x₃)(х – x₀)(х – x₁)(х – x₂) = f (a; b; ; )(х – a)(х – b)(х – ). Але функція (х – a)(х – b)(х – ) непарна відносно – середини відрізка [a; b] і отже = 0; тому = . Многочлен L₂(x) = f (x₀; x₁; x₂)(х – x₀)(х – x₁) = f (a; b; )(х – a)(х – b) є многочленом другого степеня, відповідним d₀ = – 1, d₁ = 0, d₂ = 1. Тоді згідно з (8) D₀ = = = , D₁ = = = , D₂ = = = . Отже, згідно з (9) отримана квадратурна формула ≈ (f (a) + 4 f ( ) + f (b)), яку і називають квадратурною формулою Сімпсона. Згідно з (7) R( f ) ≤ ) ( )⁵ = ) .

Аналогічно можна отримати й оцінку R( f) ≥ ) .