§ 2. Оцінки похибки чисельного диференціювання

Якщо функція f досить гладка і змінюється плавно на певній ділянці, а інтерполяційний многочлен з достатньою точністю наближає f на цій ділянці, то можна сподіватись, що похідні інтерполяційного многочлена також мало відрізняються від похідних функції f . Аналогічно можна обчислювати і похідні вищих порядків. Проте, зважаючи на нестійкість операції диференціювання здебільшого із зростанням порядку похідної точність різко спадає. Саме тому формули чисельного диференціювання для вищих похідних на практиці застосовують досить рідко. Оцінимо похибки формул чисельного диференціювання.

За теоремою 2.1 розділу 2 f(x) – L_n(x) = f(х; x₀; x₁;… ; x_n)ω_n+1(х). Звідси за формулою Лейбниця

Лема. Якщо функція g(x) неперервно диференційовна q раз, то

Справді, за теоремою 2.4 розділу ?, g(x; x + ε;…;x + qε) = g^(q)(x_ε)/q! , де х ≤ x_ε ≤ х + qε .

Отже, згідно з лемою,

= q! .

Тому

Звідси згідно з теоремою 2.4 попереднього розділу

де у₁ = min(x, x₀, x₁, …, x_n), у₂ = max(x, x₀, x₁, …, x_n). Зокрема при k = 1 маємо

f ′ (x) – L_n′(x) = f(х; x₀; x₁;… ; x_n)ω′_n+1(х) + f(х; x; x₀; x₁;… ; x_n)ω_n+1(х) =

Якщо х є одним з вузлів інтерполювання x₀, x₁, …, x_n, то ω_n+1(x) = 0, звідки для залишкового члена чисельного диференціювання R′_n(x, f) маємо

R′_n(x, f) = .

Якщо вузли рівновіддалені: x_{i +1} – x_i = h (i = 0, 1, …, n – 1) то, підставивши замість х , дістанемо R′_n(x, f) ≤ ∙ (t(t – 1)(t – 2)…(t – n)). Звідси, якщо t = 0 (х = x₀), то

R′_n(x, f) ≤ , (4)

бо (t(t – 1)(t – 2)…(t – n))_{t = 0} = (– 1)ⁿ n! . Якщо t = 1 (х = x₁), то

(t(t – 1)(t – 2) … (t – n))_{t = 1} = (– 1)^n-1 n! , отже, формула (4) теж виконується. Це ж стосується і всіх інших вузлів інтерполяції. Але похідну f ⁿ⁺¹(x) в багатьох випадках оцінити важко. Тому при досить малих h згідно з теоремою 2(4) та лемою 2 розділу 2 припускають, що f ⁿ⁺¹(x) ≈ . Тоді (4) приймає вигляд

R′_n(x, f) ≤   (5)

Задача 2. У точках 1) х = 1 та 2) х = 1,1 оцінити отримані в задачі 1 значення похідної від функції , скориставшись формулою (5).

Розв’язання. Оскільки в задачі 1 n = 5, то згідно з (5) R′₅(x₀, f) ≤   та R′₅(x₁, f) ≤  . Значення Δ⁶у₀ дістаємо з таблиці скінчених різниць задачі 1: Δ⁶у₀ = 0,000125. Отже,   ≈ 0,000208. Як бачимо, воно мало відрізняється від значення 0,00019 , що було отримане в задачі 1 шляхом безпосереднього порівняння з точним значенням похідної.

Такими є оцінки похибок тих методів чисельного диференціювання, які насправді мають застосування. Але завдяки нестійкості чисельного диференціювання тут ми маємо справу з тою обставиною, що зменшення похибки методу веде до збільшення обчислювальної похибки (дивись розділ 1).

Нехай спочатку f ′(х₀) визначається з формули (3) : f ′(х₀) ≈ ( f(х₁) – f(х₀) ). Згідно з (4) залишковий член цієї формули R′₁(x, f) ≤ , де М = , відрізок [y₁;y₂] містить всі вузли інтерполяції. Якщо значення функції f(х) обчислюється з деякими похибками δ_і, δ_і ≤ Е, то похибка для f ′(х₀) містить додатковий доданок R₂ = (δ₁ – δ₂)/h, R₂ ≤ 2E/h. Звідси маємо оцінку похибки R ≤ R₁ + R₂ ≤ g(h) = Mh/2 + 2E/h. Мала похибка вимагає малого h, проте із зменшенням h зростає другий доданок. Точку екстремуму g(h) отримуємо з рівняння g′(h) = 0: h₀ = 2 , звідки g(h₀) = 2 . Отже, при будь – якому h гранична похибка – величина порядку О( ): якщо найменша похибка округлення чисел дає n вірних значущих цифр, то f ′(х₀) можна отримати в найкращому випадку з їх половиною n/2.

Якщо замість формули (3) використати (2), то принципово висновки не зміняться. Згідно з (4) залишковий член формули (2) R′_n(x, f) ≤ , де М = , [y₁;y₂] містить всі вузли інтерполяції. Звідси оцінка похибки R ≤ R₁ + R₂ ≤ g(h) = + АE/h, де А – константа, що визначає кратність обчислювальної похибки з (2). Тоді з рівняння g′(h) = 0 отримуємо h₀ порядку , g(h₀) ~ . Отже, із зростанням n порядок похибки по відношенню до Е зменшується, проте зростає відповідний крок h₀ ~ . Такі обмеження точності добре відомі з квантової механіки, там вони звуться “принципом невизначеності Гейзенберга”. Цей зв'язок з квантовою механікою не є випадковим: саме операція диференціювання і використовується там для математичного формулювання цього принципу.