Розділ 3. Чисельне диференціювання та інтегрування.

Диференціальне та інтегральне числення – саме таку назву мав математичний аналіз спочатку і тоді це підкреслювало калькулятивне, алгоритмічне спрямування цієї дисципліни. Проте теорія диференціального і теорія інтегрального числень виявилися значно відмінними: диференціальне числення – алгоритм, інтегрування ж для більшості елементарних функцій або зовсім нездійснене точно, “на папері”, або є складною задачею, дуже далекою від алгоритму. З іншого боку, як показано у розділі 1, інтегрування – стійка, а диференціювання – нестійка операція, що значно знижує ефективність алгоритмів чисельного диференціювання. Такий збіг обумовив те, що чисельні алгоритми є головним засобом розв’язання задачі інтегрування; наближене ж диференціювання на практиці застосовують досить рідко. Тут обмежимося лише так званими однобічними формулами чисельного диференціювання, які мають практичний інтерес.

§ 1. Однобічні формули чисельного диференціювання

Звичайно формули чисельного диференціювання отримуються в результаті застосування інтерполяційних формул. Нехай відомими є значення функції в точках х₀ , х₁ , … , х_n і треба обчислити похідну f^(k)(x). Побудуємо інтерполяційний многочлен L_n(x) і покладемо f^(k)(x) ≈ L_n^(k)(x). Нехай функцію f задано в рівновіддалених точках х_i відрізка [a;b]: у_i = f (х_i) (і = 0, 1, …, n). Щоб знайти похідну f ′ в точках, близьких до х₀, скористаємося першим інтерполяційним многочленом Ньютона L_n(x), побудованим за вузлами х_i :

L_n(x) = y₀ + tΔу₀ + Δ²у₀ + … + Δⁿу₀, де , h = x_i+1 – x_i (i = 0, 1, … , n – 1). Нагадаємо, що при застосуванні цієї формули доцільно обрати за точку х₀ найближче табличне значення аргументу, яке менше за х. Кожний доданок формули подамо за степенями t: t(t – 1)(t – 2)…(t – k) = t^k+1 – t^k + t^k-1 – … + (– 1)^k t, де – це сума всіх добутків і нерівних між собою натуральних чисел від 1 до k (наприклад, = 35). Отже, f(х) ≈ L_n(x) = y₀ + tΔу₀ + Δ²у₀ + Δ³у₀ + … + Δⁿу₀. Врахувавши, що похідна , продиференціюємо цю наближену рівність і дістанемо

f ′(х) ≈ L′_n(x) = ( Δу₀ + Δ²у₀ + Δ³у₀ + … +

+ Δⁿу₀ . (1)

Формула чисельного диференціювання значно спрощується, якщо значення похідних обчислювати у вузлах інтерполювання. В такому разі доцільно саме цей вузол взяти за х₀, звідки t = 0. Оскільки = (n – 1)!, то з (1) дістанемо

f ′(х₀) ≈ L′_n(х₀) = ( Δу₀ – Δ²у₀ + Δ³у₀ + … + Δⁿу₀ ) . (2)

Найпростіші формули (n = 1 та n = 2 у (2) відповідно)

f ′(х₀) ≈ Δу₀ = ( f(х₁) – f(х₀) ); f ′(х₀) ≈ (Δу₀ – Δ²у₀). (3)

Саме ці формули (2), (3) звичайно і називають однобічними формулами чисельного диференціювання.

Задача 1. У точках 1) х = 1 та 2) х = 1,1 знайти похідну від функції , заданої таблицею на відрізку [1; 1,7] з кроком h = 0,1 , скориставшись однобічними формулами чисельного диференціювання з n ≤ 5.

Розв’язання. Побудуємо спочатку таблицю скінчених різниць так само, як у задачі 1 §6 попереднього розділу.

	A	B	C	D	E	F	G	H
1		0	1	2	3	4	5	6
2	0	1	-0,090909	0,0151515	-0,003497	0,000999	-0,000333	0,000125
3	1	0,909091	-0,075758	0,011655	-0,002498	0,000666	-0,000208
4	2	0,833333	-0,064103	0,0091575	-0,001832	0,000458
5	3	0,769231	-0,054945	0,007326	-0,001374
6	4	0,714286	-0,047619	0,0059524
7	5	0,666667	-0,041667
8	6	0,625

Тут у стовпці А номери i вузлів інтерполяції х_i = x₀ + h ∙ i, де x₀ = 1, h = 0,1 , у стовпці В відповідні значення функції у_i = 1/х_i , які за означенням є скінченими різницями порядку 0. У чарунку С2 введена формула = В3 – В2, що обраховує значення скінченої різниці Δу₀, а потім ця формула копіюється на всю трикутну таблицю. В результаті скінчена різниця Δ^jу_i знаходиться у чарунці, що відповідає номеру i у стовпці А і номеру j у рядку 1. 1) Точка 1 розміщена на початку таблиці, тому похідну обчислюватимемо за формулою (2): у цьому разі х₀ = 1, h = 0,1 , скінчені різниці Δ^jу₀ знаходяться у відповідних чарунках рядка 2. Зауважимо, що зважаючи на цю формулу, використання ще і шостого доданку – 1/6 ∙ Δ⁶у₀ вплинуло би хіба що на п’яту значущу цифру. Побудуємо наступну таблицю для підрахунку f ′(х₀). Надамо чарункам електронної таблиці таких значень:

	A	B	C	D	E	F
11	n	1	2	3	4	5
12	(–1)^(n+1)/n	= (–1)^C11/B11	→	→	→	→
13	un(x)	= C2*B12	→	→	→	→
14	f ′(х0)	= 10*B13	= B14 + 10*C13	→	→	→

Тут у рядку 12 знаходимо (–1)ⁿ⁺¹/n замість (–1)^n-1/n у формулі (2). Це не впливає на результат, проте зручніше для підрахунків у цій таблиці. У рядку 13 дістаємо значення доданків з формули (2). У рядку 14 отримуються наближені значення f ′(х₀), причому кількість використаних доданків дорівнює числу у рядку 11 того ж стовпця. В результаті отримаємо таку таблицю:

	A	B	C	D	E	F
11	n	1	2	3	4	5
12	(-1)^(n+1)/n	1	-0,5	0,333333	-0,25	0,2
13	un(x0)	-0,090909	-0,00758	-0,00117	-0,00025	-6,7E-05
14	f ' (x0)	-0,909091	-0,98485	-0,9965	-0,999001	-0,99967

Точне значення похідної f ′(1) = –1; по останньому рядку можна простежити, як значення, отримане за формулою (2), наближається до точного із зростанням числа доданків.

2) Оскільки х = 1,1 – вузол інтерполяції, х = х₁, то відповідні скінчені різниці Δ^jу₁ знаходяться у відповідних чарунках рядка 3; як і раніше, h = 0,1. Таблиця для підрахунків майже ідентична:

	A	B	C	D	E	F
16	n	1	2	3	4	5
17	(–1)^(n+1)/n	= (–1)^C16/B16	→	→	→	→
18	un(x)	= C3*B17	→	→	→	→
19	f ′(х0)	= 10*B18	= B19 + 10*C18	→	→	→

В результаті отримаємо таку таблицю:

n	1	2	3	4	5
(-1)^n/n	1	-0,5	0,333333	-0,25	0,2
un(x)	-0,07576	-0,005828	-0,00083	-0,00017	-4,2E-05
f ' (x)	-0,75758	-0,815851	-0,82418	-0,82584	-0,82626

Значення похідної з п’ятьма значущими цифрами f ′(1,1) = – 0,82645, тому похибка в обчисленні першої похідної не перевищує 0,00019 при використанні у (2) п’яти доданків.