Питання, тести
1. Задача інтерполювання функції з n вузлами інтерполяції має єдиний розв’язок, якщо інтерполююча функція Р(х) – це
А |
кубічний сплайн |
Б |
многочлен степеня n – 1 |
В |
многочлен степеня n |
Г |
ряд Тейлора даної функції |
Інтерполяційний многочлен Лагранжа Ln(x) вузлів інтерполяції має
А |
Б |
В |
Г |
n |
n + 1 |
n – 1 |
будь – яку кількість |
Інтерполяційна формула Лагранжа f(x) ≈ L2(x) має вигляд
А |
f(x) ≈ |
Б |
f(x) ≈ |
В |
f(x)
≈
|
Г |
f(x)
≈
|
+
Інтерполяційний многочлен Лагранжа для функції f, заданої таблицею
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
xi |
1 |
3 |
4 |
6 |
yi |
10 |
6 |
8 |
5 |
має вигляд
А |
|
Б |
|
В |
|
Г |
+ |
+
+
+
5. Якщо вузли інтерполювання xi (і = 0, 1, …, n) різні і належать відрізку [a; b], функція f(x) n + 1 раз неперервно диференційовна на [a; b], то похибка інтерполювання Rn(f, x) = ωn+1(х), де
А |
ξ – це довільна точка на [a; b] |
Б |
ξ – це деяка невизначена точка на [a; b] |
В |
ξ – це точка, однозначно визначена точкою х |
Г |
ξ – це точка, однозначно визначена функцією f(x) |
Означення поділених різниць.
А |
Поділена різниця нульового порядку f(xі) співпадає із значенням функції f(xі) |
Б |
Поділені різниці першого порядку визначаються рівністю f(xі ; xj) = |
В |
Поділені
різниці другого порядку – рівністю
f(xі
; xj;
xk)
=
|
Г |
Поділені різниці k – го порядку визначаються через поділені різниці (k – 1) – го порядку за формулою: f(x0 ; x1; … ; xk) = . |
7. Інтерполяційний многочлен Ньютона дорівнює інтерполяційному многочлену Лагранжа, якщо їх степені рівні.
А |
Б |
так |
ні |
Інтерполяційний многочлен Ньютона дорівнює інтерполяційному многочлену Лагранжа, якщо співпадають їх вузли інтерполяції.
А |
Б |
так |
ні |
8. Нехай xi (і = 0, 1, …, n) – попарно різні вузли інтерполяції, Ln(x) – відповідний інтерполяційний многочлен Лагранжа, f(x) ≈ Ln(x) – відповідна інтерполяційна формула. Тоді залишковий член інтерполяційної формули Rn(f, x) = f(x) – Ln(х) =
А |
f(x0; x1;… ; xn)(х – x0)(х – x1) … (х – хn-1) |
Б |
f(x0; x1;… ; xn)(х – x0)(х – x1) … (х – хn-1)( х – хn) |
В |
f(x; x0; x1;… ; xn)(х – x0)(х – x1) … (х – хn-1) |
Г |
f(x; x0; x1;… ; xn)(х – x0)(х – x1) … (х – хn-1)( х – хn) |
Нехай xi (і = 0, 1, …, n) – попарно різні вузли інтерполяції. Тоді
А |
f(x) ≈ Ln(x) = f(x0) + f(x0; x1)(х – х0) + … + f(x0; x1;… ; xn)(х – x0)(х – x1) … (х – хn-1) (інтерполяційна формула Ньютона) |
Б |
f(x) – Ln(x) = Rn(f, x) = f(x0; x1;… ; xn)(х – x0)(х – x1) … (х – хn-1)( х – хn) |
В |
Ln(x) – Ln-1(x) = f(x0; x1;…; xn)(х – x0)(х – x1) … (х – хn-1) |
10. Нехай функція f(x) задана у точках x0, x1,… , x4 , розглянемо наступну таблицю її поділених різниць
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
1 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
2 |
х0 |
0,434966 |
0,926146 |
-0,2472 |
-0,14442 |
0,021447 |
3 |
х1 |
0,314567 |
0,842099 |
-0,25586 |
-0,14034 |
|
4 |
х2 |
0,710353 |
0,793486 |
-0,30077 |
|
|
5 |
х3 |
0,488177 |
0,838601 |
|
|
|
6 |
х4 |
0,597195 |
|
|
|
|
(тут число у рядку 1 дорівнює порядку поділеної різниці, число у стовпці В дорівнює f(xi) для рядка із значенням xi у стовпці А). Тоді значення поділеної різниці f(x1; x2; x3) знаходиться у чарунці
А |
Б |
В |
Г |
С5 |
D3 |
E3 |
його нема у таблиці |
Значення поділеної різниці f(x0; x2; x3) знаходиться у чарунці
А |
Б |
В |
Г |
С5 |
D2 |
E2 |
його нема у таблиці |
Нехай функція f(x) задана у точках x0 = 0,4 x1 = 0,2 x2 = 0,3 x3 = 0,5 x4 = 0,1 , розглянемо наступну таблицю її поділених різниць
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
1 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
2 |
х0 |
0,434966 |
0,926146 |
-0,2472 |
-0,14442 |
0,021447 |
3 |
х1 |
0,314567 |
0,842099 |
-0,25586 |
-0,14034 |
|
4 |
х2 |
0,710353 |
0,793486 |
-0,30077 |
|
|
5 |
х3 |
0,488177 |
0,838601 |
|
|
|
6 |
х4 |
0,597195 |
|
|
|
|
(тут число у рядку 1 дорівнює порядку поділеної різниці, число у стовпці В дорівнює f(xi) для рядка із значенням xi у стовпці А). Записати інтерполяційний многочлен Ньютона з поділеними різницями L3(x)
L3(x) = ____________________________________________________________________
Записати інтерполяційну формулу Ньютона f(x) ≈ L3(x) = _________________________
12. Нехай функція f(x) в точках xi набуває значень уi = f(xi) (і = 0, 1, …, n). Схема Ейткіна обчислення значення Ln(x) = L(0,1,…,n)(x) визначається формулою
L(k,k+1,…,i+1)(x) = ,
де L(k,k+1,…,i)(x) – це інтерполяційний многочлен з вузлами інтерполяції xk, xk+1,…, xi . Тоді реалізація цієї схеми в Excel визначається такими формулами (тут у стовпці В значення різниці х – xi для вузлів інтерполяції xi , у стовпці С відповідні значення f(xi) )
А:
A |
B |
C |
D |
E |
F |
х0 |
– 0,03 |
15,6426 |
= (C2*B1 – C1*B2)/(B2 – B1) |
= (С2*B1 – С1*B3)/(B3 – B1) |
… |
х1 |
0,09 |
13,8738 |
↓ |
↓ |
… |
х2 |
– 0,17 |
17,99331 |
↓ |
↓ |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Б:
A |
B |
C |
D |
E |
F |
х0 |
– 0,03 |
15,6426 |
= (C2*B1 – C1*B2)/(B2 – B1) |
= (D2*B1 – D1*B3)/(B3 – B1) |
… |
х1 |
0,09 |
13,8738 |
↓ |
↓ |
… |
х2 |
– 0,17 |
17,99331 |
↓ |
↓ |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
В:
A |
B |
C |
D |
E |
F |
х0 |
– 0,03 |
15,6426 |
= (C2*B1 – C1*B2)/(B1 – B2) |
= (D2*B1 – D1*B3)/(B1 – B3) |
… |
х1 |
0,09 |
13,8738 |
↓ |
↓ |
… |
х2 |
– 0,17 |
17,99331 |
↓ |
↓ |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Г:
A |
B |
C |
D |
E |
F |
х0 |
– 0,03 |
15,6426 |
= (C2*B2 – C1*B1)/(B1 – B2) |
= (D2*B3 – D1*B1)/(B1 – B3) |
… |
х1 |
0,09 |
13,8738 |
↓ |
↓ |
… |
х2 |
– 0,17 |
17,99331 |
↓ |
↓ |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
13. За схемою Ейткіна оцінка похибки значення Ln(x) заснована на формулі Rn(f,x) = f(x) – Ln(x) ≈ Ln+1(x) – Ln(x). реалізація цієї схеми в Excel визначається такими формулами (тут у стовпці В значення різниці х – xi для вузлів інтерполяції xi , у стовпці С відповідні значення f(xi) )
А:
A |
B |
C |
D |
E |
F |
х0 |
– 0,03 |
15,6426 |
= (C2*B1 – C1*B2)/(B2 – B1) |
= (С2*B1 – С1*B3)/(B3 – B1) |
… |
х1 |
0,09 |
13,8738 |
↓ |
↓ |
… |
х2 |
– 0,17 |
17,99331 |
↓ |
↓ |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
хn |
0,87 |
6,35982 |
|
|
|
|
|
ε = |
= D1 – C1 |
= E1 – C1 |
… |
Б:
A |
B |
C |
D |
E |
F |
х0 |
– 0,03 |
15,6426 |
= (C2*B1 – C1*B2)/(B2 – B1) |
= (D2*B1 – D1*B3)/(B3 – B1) |
… |
х1 |
0,09 |
13,8738 |
↓ |
↓ |
… |
х2 |
– 0,17 |
17,99331 |
↓ |
↓ |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
хn |
0,87 |
6,35982 |
|
|
|
|
|
ε = |
= D1 – C1 |
= E1 – C1 |
… |
В:
A |
B |
C |
D |
E |
F |
х0 |
– 0,03 |
15,6426 |
= (C2*B1 – C1*B2)/(B2 – B1) |
= (D2*B1 – D1*B3)/(B3 – B1) |
… |
х1 |
0,09 |
13,8738 |
↓ |
↓ |
… |
х2 |
– 0,17 |
17,99331 |
↓ |
↓ |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
хn |
0,87 |
6,35982 |
|
|
|
|
|
ε = |
= D1 – C1 |
|
… |
Г:
A |
B |
C |
D |
E |
F |
х0 |
– 0,03 |
15,6426 |
= (C2*B1 – C1*B2)/(B2 – B1) |
= (D2*B1 – D1*B3)/(B3 – B1) |
… |
х1 |
0,09 |
13,8738 |
↓ |
↓ |
… |
х2 |
– 0,17 |
17,99331 |
↓ |
↓ |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
хn |
0,87 |
6,35982 |
|
|
|
|
|
ε = |
= D2 – D1 |
|
… |
Нехай функція у = f(x) задана в точках хk = х0 + kh, де h – дійсна стала, k = 0, 1, … , n, yk = f(хk). Тоді
А |
скінчені різниці першого порядку – це величина Δfi = f(хi+1) – f(хi) |
Б |
скінчені різниці другого порядку – це різниці перших різниць: Δ2 f i = Δ fi +1 – Δ fi = f(хi+2) – 2 f(хi+1) + f(хi) |
В |
скінчені різниці третього порядку – це різниці других різниць: Δ3 f i = Δ2 fi +1 – Δ2 fi = f(хi+3) – 2 f(хi+2) + f(хi+1) |
Г |
різниці порядку n – це різниці різниць порядку n – 1: Δnуi = Δn f i = Δn-1f i +1 – Δn-1f i |
15. Нехай функція у = f(x) задана в точках хk = х0 + kh, де h – дійсна стала, k = 0,1,…,n, yk = f(хk). Тоді (перша інтерполяційна формула Ньютона)
f(x) ≈ Ln(x) = y0 + tΔу0 + Δ2у0 + … + Δnу0 , де
А |
Б |
В |
Г |
t = h |
t = (х – x0)/h |
t = nh |
t = (х1 – x0)/h |
Нехай функція f(x) задана у точках x0 = 0,1 x1 = 0,2 x2 = 0,3 x3 = 0,5 x4 = 0,6 . Треба знайти її наближене значення у точці х = 0,55. Для цього можна використати
А |
першу інтерполяційну формулу Ньютона |
Б |
другу інтерполяційну формулу Ньютона |
В |
інтерполяційну формулу Ньютона з поділеними різницями |
Г |
не можна застосувати жодну з цих формул |
Дана така горизонтальна таблиця скінчених різниць:
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
1 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
2 |
0 |
0 |
0,1974 |
-0,01428 |
-0,00891 |
0,006519 |
-0,0022 |
3 |
1 |
0,1974 |
0,183111 |
-0,0232 |
-0,00239 |
0,004321 |
|
4 |
2 |
0,3805 |
0,159913 |
-0,02559 |
0,001927 |
|
|
5 |
3 |
0,5404 |
0,134321 |
-0,02366 |
|
|
|
6 |
4 |
0,6747 |
0,110657 |
|
|
|
|
7 |
5 |
0,7854 |
|
|
|
|
|
Тут у рядку 1 указані порядки скінчених різниць у відповідному стовпці, а у стовпці В значення функції f(хk) на вузлі, номер k якого знаходиться поряд у чарунці стовпця А. Тоді значення скінченої різниці Δ2у3 знаходиться у чарунці
А |
Б |
В |
Г |
D3 |
E2 |
D5 |
його нема у таблиці |
Значення скінченої різниці Δ3у4 знаходиться у чарунці
А |
Б |
В |
Г |
C4 |
F3 |
E4 |
його нема у таблиці |
18. Дана така горизонтальна таблиця скінчених різниць:
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0,099669 |
-0,00194 |
-0,00172 |
0,000378 |
7,13E-05 |
1 |
0,1 |
0,0997 |
0,097727 |
-0,00367 |
-0,00135 |
0,000449 |
-1,4E-05 |
2 |
0,2 |
0,1974 |
0,094061 |
-0,00501 |
-0,0009 |
0,000436 |
-7,1E-05 |
3 |
0,3 |
0,2915 |
0,08905 |
-0,00591 |
-0,00046 |
0,000365 |
|
4 |
0,4 |
0,3805 |
0,083141 |
-0,00637 |
-9,6E-05 |
|
|
5 |
0,5 |
0,4636 |
0,076772 |
-0,00647 |
|
|
|
6 |
0,6 |
0,5404 |
0,070306 |
|
|
|
|
7 |
0,7 |
0,6107 |
|
|
|
|
|
Емпірична формула для функції f, з такою таблицею має степінь
А |
Б |
В |
Г |
3 |
4 |
5 |
6 |
Для емпіричної формули за таблицею з тесту 18 можна застосувати
А |
інтерполяційну формулу Ньютона з поділеними різницями |
Б |
першу інтерполяційну формулу Ньютона |
В |
другу інтерполяційну формулу Ньютона |
Г |
не можна застосувати жодну з цих формул |
20. Запишіть емпіричну формулу за таблицею з тесту 18
f(x) ≈ _______________________________________________________________