§8. Інші методи інтерполювання

Для інтерполювання значення х функції, що знаходиться поблизу вузла х_i у середині таблиці з рівновіддаленими вузлами інтерполяції з кроком h, звичайно використовують формулу Стірлінга, якщо │t│= │x – х_i│/h ≤ 0,25 або формулу Бесселя, якщо 0,25 ≤│t│≤ 0,75. У цьому випадку зручно позначити цей найближчий вузол через х₀ , а індекси інших вузлів рахувати так, як указано у наступній таблиці ( де у_k = f(х_k) ) :

Індекс	Вузол	Функція
…	…	…	…	…	…	…	…	…
– 3	х-3	у-3	…	…	…	…	…	…
			Δу-3	…	…	…	…	…
– 2	х-2	у-2		Δ2у-3	…	…	…	…
			Δу-2		Δ3у-3	…	…	…
– 1	х-1	у-1		Δ2у-2		Δ4у-3	…	…
			Δу-1		Δ3у-2		Δ5у-3	…
0	х0	у0		Δ2у-1		Δ4у-2		Δ6у-3
			Δу0		Δ3у-1		Δ5у-2	…
1	х1	у1		Δ2у0		Δ4у-1	…	…
			Δу1		Δ3у0	…	…	…
2	х2	у2		Δ2у1	…	…	…	…
			Δу2	…	…	…	…	…
3	х3	у3	…	…	…	…	…	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…

Формула Стірлінга має вигляд L_n(x) = у₀ + t + Δ²у_-1 + + Δ⁴у_-2 + + Δ⁶у_-3 + … + Δ²ⁿу_-n , де t = (х – х₀)/h. Формула Бесселя має вигляд L_n(x) = + (t – )Δу₀ + + Δ³у_-1 + ∙ + Δ⁵у_-2 + + … + + + + Δ²ⁿ⁺¹у_-n , де t = (х – х₀)/h.

Якщо t = 1/2, то формула Бесселя значно спрощується і в такому разі називається формулою інтерполювання на середину: L_n(x) = – + ∙ – + … + (–1)ⁿ .

Зокрема при n = 1 отримаємо формулу квадратичної інтерполяції по Бесселю: L₁(x) = у₀ + tΔу₀ – (Δу₁ – Δу_-1). Електронні таблиці для підрахунків значень інтерполяційного многочлена аналогічні таким таблицям для формул Ньютона.

При інтерполюванні функцій з великою кількістю вузлів інтерполяційний многочлен має високій степінь, що спричиняє коливання на проміжках між вузлами. Щоб зменшити степінь інтерполяційного многочлена вузли інтерполювання можна розбити на групи і проводити інтерполювання по групах. Але в цьому разі порушуються аналітичні умови, з’являються точки розриву похідних. Позбутися цього недоліку можна за допомогою сплайнів – функцій, які гладко склеєні з різних частин многочленів заданого степеня.

Розіб’ємо заданий відрізок [a ; b] на n частин точками а = х₀ < х₁ < … < х_n = b. Сплайном S_m(x) називається функція, що визначена на відрізку [a ; b] і має на ньому неперервну похідну порядку m – 1, а на кожному відрізку [х_k ; х_k+1] співпадає з деяким многочленом степеня не вище за m, причому хоча би на жодному з них степінь точно дорівнює m. Сплайн, який у вузлах х_k приймає ті ж самі значення, що й деяка функція f(x) називається інтерполяційним.

На практиці широко застосовують сплайни третього степеня (кубічні сплайни S₃(x) ). Для побудови інтерполяційного кубічного сплайну розіб’ємо відрізок [a ; b] на n рівних частин довжини h = (b – а)/ n. В цьому разі на відрізку [х_k ; х_k+1] (k = 0,1,…n – 1) кубічний сплайн запишеться так:

S₃(x) = +

+ , (5)

де m_k , m_k+1 – деякі числа. Виявляється, що саме за такої формули S₃(х_k) = f(х_k), S₃(х_k+1) = f(х_k+1), S´₃(х_k) = m_k , S´₃(х_k+1) = m_k+1 , що і визначає цю формулу. Отже, кубічний сплайн S₃(x) має неперервну першу похідну всюди на [a ; b]. Тепер оберемо числа m_k так, щоби S₃(x) мав і другу неперервну похідну на [a ; b]. Ця умова зводиться до умови рівності другої похідної зліва і справа у кожному вузлі х_k (k = 1,…,n – 1), вона приймає вигляд:

m_k-1 + 4m_k + m_k+1 = (f(х_k+1) – f(х_k)), (k = 1,…,n – 1). Це система n – 1 лінійних рівнянь відносно n + 1 невідомих m_k (k = 0,1,…,n). Для однозначного визначення невідомих додають ще дві умови: це умови обмежень на значення сплайна і його похідних на кінцях відрізка [a ; b], які і називають крайовими. Існує декілька видів крайових умов, одна з найпоширеніших це S´₃(а) = f ´(а), S´₃(b) = f ´(b). Тоді система n + 1 лінійних рівнянь відносно n + 1 невідомих m_k (k = 0,1,…,n) має вигляд:

Матриця цієї системи не вироджена і тому вона має єдиний розв’язок. Розв’язати її можна методом Гаусса або будь – яким іншим методом розділу 3. Знайшовши m_k , побудувати інтерполяційний кубічний сплайн можна за формулою (5) на кожному відрізку [х_k ; х_k+1] (k = 0,1,…,n) окремо.

Доведено, що кубічна сплайн – функція – це єдина функція Р(х) з мінімальною кривиною серед усіх функцій, які інтерполюють дану функцію f(x), тобто у всіх вузлах інтерполяції задовольняють умови Р(x₀) = f(x₀), …, Р(x_n) = f(x_n), і мають квадратично інтегровну другу похідну. Отже, в цьому розумінні кубічний сплайн найкраща з функцій, які інтерполюють дану функцію.