263

Основи чисельних методів математики (з використанням Excel) Передмова

Поточний період характерний бурхливим розвитком обчислювальної техніки, в результаті триває швидка зміна поглядів на весь комплекс проблем, пов’язаних з її використанням. Проте, незмінним і незаперечним є те, що ефективне використання комп’ютерів можливе лише за умови застосування чисельних методів математики.

Методи обчислень – це алгоритми знаходження чисельних (доведених до числових відповідей) розв’язків основних математичних задач, навчальний курс обчислювальних методів базується на всіх основних математичних курсах. Це створило досить вільний стиль викладання у підручниках чисельних методів, де необхідною передумовою їх вивчення вважається ґрунтовне знання всієї математики в цілому. Такі вимоги і такий стиль є серйозною проблемою навіть для найкращих студентів.

Водночас чисельні методи щільно зв’язані з курсами алгоритмізації та програмування. Підручник, у якому програми були б лише застосуванням та ілюстрацією теоретичних досліджень, створював би дуже скривлену панораму. Насправді, часто обчислювальний експеримент грає провідну роль у створенні математичної моделі та чисельних методів, апостеріорні методи аналізу результатів обчислень, як правило, точніші та поширеніші апріорних методів.

Ця книга написана на основі лекцій, які читаються автором на факультеті Фізики, математики та інформатики Херсонського державного університету; на згадані виклики вона дає свою відповідь.

Посібник написаний у традиційному для математичних текстів стилі: окреслена логічна структура тексту, наведені всі означення, формулювання, більшість доведень (насправді, необхідних кращим студентам). І саме це створює передумови для відносно автономного і водночас ґрунтовного його вивчення.

Весь текст супроводжують приклади, які далеко не є лише ілюстрацією математичних надбань. Вони мотивують подальші поняття та методи, вони є базою вправ, пов’язаних з модифікацією алгоритмів. Ці прості програми реалізуються засобами Excel, і це має свої переваги. Простота та відкритість таких програм прислуговує легкості їх модифікації, потужний графічний інтерфейс – аналізу результатів, який іноді здатен перетворюватися у “математику в малюнках”.

Такий стиль вимагає іноді нестандартних рішень щодо тексту посібника. Наприклад,

1. Теорія інтерполяції ґрунтується на понятті поділеної різниці, що дозволяє застосовувати довільні вузли інтерполювання. Традиційні задачі із скінченими різницями розглядаються, як окремий випадок загальної теорії.

2. Для відокремлення коренів рівняння з однією змінною застосовується комбінований (графічно – аналітичний) метод, який є точним і водночас мабуть найближче підходить до “математики в малюнках”.

3. Для розв’язання нетривіальних задач лінійної алгебри систематично застосовуються вбудовані оператори Excel.

4. Викладання симплекс – методу ґрунтується не на векторних перетвореннях, а на апараті систем лінійних рівнянь безпосередньо, що дозволяє повністю довести метод і водночас робить його більш прозорим.

5. Для аналізу результатів інтегрування функцій та диференціальних рівнянь застосований апостеріорний метод кратного перерахунку, який є узагальненням методу подвійного перерахунку Рунге – Річардсона.

Традиційний для математики стиль викладання вимагає також обмежитись в основному найбільш простими і відомими обчислювальними методами. Проте, будь – який підручник не може бути збірником рецептів розв’язання всіх реальних задач, бо різноманітність їх є практично необмеженою. Його реальна мета – вивчення основних понять, задач та ідей чисельних методів. Подальшого розвитку цих ідей торкаються останні параграфи розділів посібника, а також наведена у ньому бібліографія.

Весь текст супроводжується тестовими завданнями різних типів і різного рівня. Всі наведені наприкінці розділу задачі докладно розглянуті в основному тексті цього розділу.