Министерство образования и науки Украины

ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ МОРСКАЯ АКАДЕМИЯ

А.Ю. Поповский, С.Д. Брошков

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В СРЕДЕ MATHCAD

Учебное ПОСОБИЕ

ОДЕССА-2003

ББК 32.97

П 58

УДК 004.434:519.87 (075.8)

Поповский А.Ю., Брошков С.Д.

Математическое моделирование в среде MathCAD: Учебное пособие. – Одесса: ОНМА, 2003. – 101 с.

Рецензент доцент кафедры высшей математики ОНМА, к. ф.-м. н. Орлова Н.Д.

В учебном пособии приведены методические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине "Математическое моделирование на ЭВМ". Пособие содержит методические указания по алгоритмизации наиболее часто встречающихся инженерных задач. Алгоритмы реализованы в среде MathCAD. Приводятся варианты заданий к лабораторным работам. Также приведены методические указания по выполнению курсовой работы на тему "Методы и алгоритмы компьютерного решения дифференциальных уравнений" по дисциплине "Математическое моделирование на ЭВМ".

Утверждено Ученым советом ОНМА в качестве учебного пособия для курсантов (студентов) специальности 8.092501 "Автоматизированное управление технологическими процессами" и рекомендовано к печати 24.04.2003 г., протокол №8.

 А.Ю. Поповский, С.Д. Брошков

Оглавление

	стр.
Введение	4
Лабораторная работа №1. Основы работы с MathCAD....………………......	8
Лабораторная работа №2. Работа с векторами и матрицами в системе MathCAD.………………………………………………………………………	20
Лабораторная работа №3. Решение систем уравнений....…………….........	26
Лабораторная работа №4. Решение нелинейных уравнений…….....……….	35
Лабораторная работа №5. Интерполяция функций....………………….........	45
Лабораторная работа №6. Аппроксимация функций. Построение регрессионных зависимостей методом наименьших квадратов..………………….	51
Лабораторная работа №7. Основы программирования в пакете MathCAD………………………………………………………………………..	58
Лабораторная работа №8. Спектральный анализ и синтез на основе преобразования Фурье..……………………………………………………...........	69
Лабораторная работа №9. Решение дифференциальных уравнений методом символьного интегрирования в пакете MathCAD..……………………..	73
Лабораторная работа №10. Решение дифференциальных уравнений численными методами..……………………………………………………...........	77
Лабораторная работа №11. Решение задач линейного программирования..……………………………………………………………………………..	82
Курсовая работа. Методы и алгоритмы компьютерного решения дифференциальных уравнений..……………………………………………………...	88
Рекомендуемая литература……………………………………………………	100

Темы и объем лабораторных занятий (академические часы)

	часов
Основы работы с MathCAD....……………….................................................	4
Работа с векторами и матрицами в системе MathCAD.…………………....	2
Решение системе уравнений....……………....................................................	2
Решение нелинейных уравнений…….....………............................................	2
Интерполяция функций....…………………....................................................	2
Аппроксимация функций. Построение регрессионных зависимостей методом наименьших квадратов..…………………............................................	2
Основы программирования в пакете MathCAD..…………………………...	4
Спектральный анализ и синтез на основе преобразования Фурье..……….	2
Решение дифференциальных уравнений методом символьного интегрирования в пакете MathCAD..……………………............................................	2
Решение дифференциальных уравнений численными методами..……….	2
Решение задач линейного программирования……………………………..	2

Введение

Чрезвычайная простота интерфейса MathCAD сделала его одним из самых популярных и распространенных математическим пакетом. Он предоставляет пользователю обширный набор инструментов для реализации графических, аналитических и численных методов решения математических задач на компьютере. Выполняя рутинные или несущественные операции, пакет позволяет пользователю, не владеющему в полной мере техникой математических преобразований, самостоятельно выполнить громоздкие вычисления, решить содержательные задачи; приобрести устойчивые навыки решения прикладных задач. При этом пользователь общается с вычислительной средой на уровне понятий, идей, общих подходов и за небольшое время может рассмотреть самостоятельно много примеров. Эти свойства общения со средой особенно важны для развития творческого, критического и независимого мышления, поскольку пользователь может всесторонне исследовать новые объекты, выделить общие закономерности и сформулировать обобщающие утверждения на основе собственных наблюдений.

Предлагаемое пособие представляет собой сборник компьютерных занятий в среде MathCAD по вышеперечисленным темам. Структура практикума такова, что основную часть материала можно использовать с любой версией MathCAD, начиная с MathCAD 7.0 PRO.

Цель практикума – научить быстро и легко решать в среде MathCAD простые математические задачи вычислительного характера. Каждая работа предваряется основными сведениями, необходимыми для ее выполнения, и содержит наборы индивидуальных заданий. Кроме этого, к каждой работе прилагается рабочий документ MathCAD, в котором приведены примеры по данной теме.

Одной из основных областей применения персонального компьютера являются математические и научно-технические расчеты. Сегодня не часто вспоминают о том, что компьютеры были созданы в первую очередь для проведения научных расчетов. До сих пор научные и инженерные расчеты остаются одной из важнейших, хотя, пожалуй, и не самой бросающейся в глаза, сфер приложения компьютеров.

Сложные вычислительные задачи, возникающие при моделировании технических устройств и процессов, можно разбить на ряд элементарных – вычисление интегралов, решение дифференциальных уравнений и т.д. За многие годы накоплены обширные библиотеки научных подпрограмм, в первую очередь, на языке FORTRAN, предназначенных для решения типовых задач (задачи линейной алгебры, интегрирование, решение дифференциальных уравнений и т.д.).

Кроме того, имеется целый ряд различных математических пакетов, реализующих разнообразные численные методы, а также способных производить аналитические математические преобразования. Наиболее известными сегодня являются следующие пакеты: Mathematica (фирма Wolfram Research), Maple (фирма Waterloo Maple Inc), Matlab (фирма The MathWorks), MathCAD (фирма MathSoft Inc). Первые два фактически являются языками для проведения символических математических преобразований.

Пакет Mathematica является сегодня наиболее популярным в научных кругах, особенно среди теоретиков. Он предоставляет широкие возможности в проведении символических (аналитических) преобразований, однако требует значительных ресурсов компьютера. Система команд пакета во многом напоминает язык программирования.

Пакет Maple также весьма популярен в научных кругах. Кроме аналитических преобразований пакет в состоянии решать задачи численно. Характерной особенностью пакета является то, что он позволяет конвертировать документы в формат LaTeX – стандартный формат подавляющего большинства научных издательств мирового класса. Кроме того, ряд других программных продуктов используют интегрированный символический процессор Maple. Например, пакет подготовки научных публикаций Scientific WorkPlace (фирма TCI Software Research) позволяет обращаться к символическому процессору Maple, производить аналитические преобразования и встраивать полученные результаты в документ.

Подобно упомянутым выше пакетам, пакет Mathlab фактически представляет собой язык программирования высокого уровня, ориентированный на решение научных задач. Характерной особенностью пакета является то, что он позволяет сохранять документы в формате языка программирования Си.

В последнее время просматривается тенденция к сближению и интеграции различных пакетов. Например, последние выпуски пакетов Mathematica и Maple имеют хорошие возможности для визуального программирования; в Matlab включена библиотека аналитических преобразований Maple; MathCAD позволяет работать совместно с Matlab.

Пакет MathCAD получил большую популярность в инженерной среде. Характерной особенностью пакета является использование привычных стандартных математических обозначений, то есть документ на экране выглядит точно также, как обычный математический расчет. MathCAD – это мощная и, в то же время, простая среда, для решения задач в различных отраслях науки и техники, финансов и экономики, физики и астрономии, математики и статистики. Для использования пакета не требуется изучать какую-либо систему команд, как, например, в случае пакетов Mathematica или Maple, т.е. он является средой визуального программирования. Пакет ориентирован, в первую очередь, на проведение численных расчетов, но имеет встроенный символический процессор Maple, что позволяет выполнять аналитические преобразования. В последних версиях предусмотрена возможность создания связки документов MathCAD с документами Mathlab. Простота в освоении пакета, дружественный интерфейс, относительная непритязательность к возможностям компьютера и, вместе с тем, чрезвычайно удобный математико-ориентированный интерфейс и прекрасные средства научной графики, явились главными причинами того, что именно этот пакет, как представитель современных высоких технологий был выбран для обучения численным методам. Вот конкретные преимущества работы в среде математической программы MathCAD:

1. Основным достоинством пакета MathCAD является реализация принципа WYSIWIG (What You See Is What You Get – что видишь, то и получаешь). Математические выражения в среде MathCAD записываются в их общепринятой нотации: числитель находится сверху, а знаменатель – внизу; в интеграле пределы интегрирования также расположены на своих привычных местах. Казалось бы, это все мелочи, никак не влияющие на вычислительный процесс. Но!.. Программа должна быть понятной не только для компьютера, но и для человека. Пользователь, читая распечатку принтера или глядя на дисплей, видит, что данная величина записана в числителе и ее рост приводит к возрастанию всего выражения. А это очень важно при анализе математических моделей, форма и содержание которых едины.

2. В среде MathCAD процесс создания «программы» идет параллельно с ее отладкой. Пользователь, введя в MathCAD-документ новое выражение, может не только сразу подсчитать, чему оно равно при определенных значениях переменных, но и построить график или поверхность, беглый взгляд на которые может безошибочно показать, где кроется ошибка, если она была допущена при вводе формул или при создании самой математической модели. «Отладочные» фрагменты можно оставить в готовом документе для того, чтобы, например, еще раз убедить воображаемого или реального оппонента в правильности модели.

3. В пакет MathCAD интегрирован довольно мощный математический аппарат, позволяющий решать возникающие проблемы без вызова внешних процедур. Вот неполный перечень вычислительных инструментов, доступных в среде MathCAD:

• решение алгебраических уравнений и систем (линейных и нелинейных);

• решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем (задача Коши и краевая задача);

• решение дифференциальных уравнений в частных производных;

• статистическая обработка данных (интерполяция, экстраполяция, аппроксимация и многое другое); работа с векторами и матрицами (линейная алгебра и др.);

• поиск минимумов и максимумов функциональных зависимостей.

4. Для решения различных задач с использованием пакета MathCAD существуют всевозможные электронные учебники: решение обыкновенных дифференциальных уравнений, статистика, термодинамика, теория управления, сопротивление материалов и т.д. Прежде чем решать возникшую проблему, пользователь может изучить электронный учебник и перенести из него в свой документ нужные фрагменты, отдельные формулы и константы.

5. Решая поставленную задачу, пользователь может вводить не только числовые значения переменных, но и дополнить их размерностями. При этом пользователь вправе выбирать и систему единиц (СИ, кг-м-с, г-см-с, британская), и конкретные размерности (мм, дюймы, футы и т.д.): система MathCAD в них сама разберется и выдаст ответ с заданной пользователем размерностью.

6. Система MathCAD оборудована средствами анимации, что позволяет реализовать созданные модели не только в статике (числа, таблицы, графики), но и в динамике (анимационные клипы).

7. В систему MathCAD интегрированы средства символьной математики, что позволяет решать поставленные задачи (этап задачи) не только численно, но и аналитически.

8. Не выходя из среды MathCAD, возможно открывать новые документы на других серверах и пользоваться преимуществами информационных технологий предоставляемых Internet.

9. Пакет MathCAD – это полноценное Windows-приложение. Решая поставленную задачу, можно в статике (через буфер обмена Windows) или в динамике (OLE-технологии) передать данные в среду другой программы (например в среду языка fortran) и там решить часть задачи.

Система Mathсad существует в нескольких основных вариантах:

• MathCAD Standard – идеальная система для повседневных технических вычислений. Предназначена для массовой аудитории и широкого использования в учебном процессе;

• MathCAD Professional – промышленный стандарт прикладного использования математики в технических приложениях. Ориентирована на математиков и научных работников, проводящих сложные и трудоемкие расчеты;

• MathCAD Professional Academic – пакет программ для профессионального использования математического аппарата с электронными учебниками и ресурсами.