Контрольная работа №2.

Задача 1.

1.1. Напишите формулу ряда Котельникова и поясните смысл теоремы Котельникова.

1.2. По заданным на рис. 1 и в задании параметрам непрерывного сигнала опре­делите:

- интервал дискретизации частоту дискретизации ;

- число уровней квантования L;

- квантованные значения дискретных отсчетов непрерывного си гнала для деся­ти отсчетов по оси времени;

- величину ошибки квантования ;

- число разрядов п в кодовой комбинации при кодировании двоичным кодом уровней квантования L;

- кодовые комбинации уровней квантования дискретных отсчетов;

1.3. Все полученные результаты сведите в таблицу и постройте графики» поясняющие суть решения задачи.

Исходные данные:

- спектр сигнала 0,02 ... 20 кГц;

- шаг квантования = 3,5 мВ.

Решение.

1.1. Для функций с ограниченным спектром В.А. Котельников доказал теорему, которая является теоретической основой построения дискретных систем связи. Ее содержание следующее.

Любая функция времени u(t) с ограниченным спектром полностью определяется своими значениями, отсчитанными в дискретные моменты времени через интервал At = 1/2F_B, где F_B — верхняя граничная частота спектра этой функции.

Ряд, определяющий функцию

называется рядом Котельникова и является разновидностью ряда Фурье. Он построен на базе ортонормированных функций

где k - целые числа в пределах от до .

Теорема Котельникова утверждает, что если требуется передать непрерывный сигнал u(t) с ограниченным спектром по каналу связи, то можно не передавать все его значения: достаточно передать мгновенные значения (отсчеты) через интервал At. Поскольку сигнал u(t) полностью определяется этими значениями, по ним он может быть восстановлен на приемном конце системы связи. Для этого достаточно соединить отсчеты плавной кривой. Это объясняется тем, что сигнал u(t) между отсчетами может изменяться только плавно, так как частоты выше F_B, дающие быстрые (скачкообразные или колебательные) изменения, в сигнале отсутствуют. Ведь отсчеты берутся достаточно часто, и тем чаще, чем выше максимальная частота F_B.

1.2. Для получения сигнала икм необходимо произвести три операции:

- дискретизацию сигнала во времени;

- квантование полученных импульсов по амплитуде;

- кодирование квантованных по амплитуде импульсов.

В процессе квантования значение сигнала, полученное внутри шага квантования, считается запрещённым и заменяется ближним разрешённым значением. Разность между двумя соседними разрешёнными для передачи уровнями называется шагом квантования U.

Если амплитуда отсчёта сигнала в пределах двух соседних разрешённых значений превышает половину шага квантования U/2, её значение увеличивается до ближайшего верхнего уровня квантования, если менее U/2 до нижнего уровня. Такое округление сопровождается погрешностью. Разность между истинным значением отсчёта сигнала и его квантованным значением называется ошибкой или шумом квантования.

Для определения числа уровней квантования L нужно учесть максимальное значение непрерывного сигнала в моменты отсчётов и значения шага квантования:

Если значение L не равно целому числу, то его необходимо округлить до ближайшего большего числа. Число разрядов в кодовой комбинации определяется как:

Получение сигнала ИКМ представляет собой преобразование дискретных квантовых значений сигнала в двоичный код. Если кодовая комбинация содержит разрядов, то можно закодировать L=2ⁿ уровней. Произведя нумерацию уровней квантования N, можно передавать не сами уровни, а их значения по шкале уровней в двоичном коде.

Вычислим интервал дискретизации (согласно теореме Котельникова)

Тогда частота дискретизации равна

Из рисунка (1) следует, что максимальное значение сигнала равно

По формуле (2) рассчитаем число уровней квантования L

Для кодирования L=19 уровней необходимо 5 разрядов.

Результаты расчетов для десяти отсчётов сведём в таблицу 1. Ход решения поясним с помощью рисунка 1.

1.3. Результаты расчётов сведены в табл. 1, Графики, поясняющие решение задачи показаны на рис. 1.

Номер отсчёта	Шаг квантования мВ
				Номер уровня квантования L	Двоичный код
0	0	0	0	0	00000
1	24,7	24,7	0,6	7	00111
2	7,6	7	-1,0	2	00010
3	30,5	31,5	1,4	9	01001
4	39,9	38,5	-1	11	01011
5	21	21	0	6	00110
6	63	63	0	18	10010
7	35	35	0,5	10	01010
8	49	49	0	14	01110
9	16,1	17,5	-1,4	6	00110
10	33,7	35,0	1,3	10	01010

Рисунок 1. Формирование ИКМ сигнала.

Задача 2

2.1. Поясните сущность процесса детектирования сигналов. Начертите схему простейшего диодного детектора амплитудно-модулированных сигналов.

2.2. Для чего необходим нелинейный элемент при амплитудном детектировании? В чём отличие между линейным и квадратичным детектированием AM?

2.3. В схеме диодного детектора AM применён диод с крутизной ВАХ S=10 мА/В. Согласно исходных данных рассчитать значения ёмкости конденсатора С_н и определить коэффициент передачи детектора.

Исходные данные:

R_H=6 кОм;

f₀=900 кГц;

Решение.

2.1. Детектированием называется такое преобразование модулированного сигнала, в результате которого получается модулирующий (первичный) сигнал. Операция детектирования прямо противоположна модуляции и является нелинейной, поскольку в спектре модулированного сигнала отсутствуют спектральные составляющие модулирующего сигнала, поэтому детекторы являются, как правило, нелинейными устройствами, редко — параметрическими.

Принцип детектирования AM сигналов. Амплитудные детекторы (АД) преобразовывают входном AM сигнал вида

в переменное выходное напряжение, изменяющееся по закону модулирующего сигнала

где - коэффициент передачи детектора. Традиционно наибольшее распространение в настоящее время получили АД с нелинейными элементами. Простейшая схема АД и вре­менные диаграммы, характеризующие принцип детектирования, показаны на рис. 2.

Рисунок 2 - Амплитудный детектор.

а, б) - обозначение; в) временные диаграммы

Нелинейный элемент с резистивной нагрузкой используется как односторонний ограничитель. Если на него подать AM сигнал, то на выходе получим сигнал U|(t) (рис. 2, в) в виде полусинусоид (однополупериодное выпрямление с углом отсечки 9=90°), которые можно разложить в ряд Фурье:

Составляющие ряда с частотами , 2 и т. д. отфильтровываются ФНЧ и на выходе фильтра, остается постоянная составляющая и модулирующий сигнал. Если постоянная составляющая не нужна, то она задерживается разделительной емкостью. Тогда выходной сигнал АД

Заметим, что в приведенном детекторе сигнал на выходе и модулирующий сигнал связаны прямой пропорциональностью, поэтому такой режим работы детектора принято называть линейным. Он обеспечивает отсутствие искажений модулирующего сигнала, т. е. является идеальным амплитудным детектором.

Схема простейшего АД (рис. 3) состоит из диода, резистора нагрузки R_H, зашунтированного по высокой частоте конденсатором С_н. Это так называемый диодный детектор, который получил самое широкое распространение для детектирования AM сигналов как в профессиональной, так и в бытовой радиоаппаратуре. В диодном детекторе в настоящее время используются в основном полупроводниковые (германиевые, кремниевые и др.) диоды, которые почти вытеснили вакуумные диоды. При всей простоте схемы физические процессы детектирования здесь сложнее, чем, например, в коллекторном АД. Это связано с воздействием выходного сигнала на входной, различными сопротивлениями детектора как для отрицательных и положительных полуволн высокочастотного сигнала, так и постоянному и переменному току и др.

Рисунок 3 - Диодный амплитудный детектор.

а) - схема; б) временные диаграммы

Различают два режима детектирования — слабых и сильных сигналов. При слабых входных сигналах ВАХ диода можно аппроксимировать квадратичным полиномом. При подаче на вход схемы AM сигнала (4) ток диода

Так как составляющие с частотами , 2 шунтируются емкостью С_н, то на выходе детектора будет низкочастотное напряжение, выделяемое на нагрузке R_H:

Из этого выражения следует, что напряжение на выходе АД пропорционально квадрату амплитуды несущей А²₀, поэтому такой режим работы АД называют квадратичным. При малых значениях А₀ коэффициент передачи квадратичного детектора мал.

2.3. Для устранения нелинейных искажений необходимо выполнение условия

Для сглаживания высокочастотных пульсаций требуется выполнение неравенства

Рассчитаем

Выберем

Коэффициент передачи детектора определим по формуле