Содержание

1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной 4

1.1. Производная функции одной переменной 4

1.1.1. Определение производной 4

1.1.2. Основные правила дифференцирования 4

1.1.3. Таблица производных основных элементарных функций 4

1.1.4. Производная параметрически заданной функции 5

1.1.5. Дифференцирование показательно – степенной функции 5

1.1.6. Производные второго и более высоких порядков 5

1.2. Приложения дифференциального исчисления функции одной переменной 6

1.2.1. Основные теоремы дифференциального исчисления 6

1.2.2. Правило Лопиталя – Бернулли раскрытия неопределенностей 6

1.2.3. Формула Тейлора и Маклорена 7

1.2.4. Разложение элементарных функций по формуле Маклорена 8

1.3. Исследование функции c помощью производных 8

1.3.1. Асимптоты графика функции 8

1.3.2. Убывание и возрастание функции 9

1.3.3. Экстремумы функции 9

1.3.4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции 10

1.3.5. План общего исследования функции 10

1.3.6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке 11

2. Типовой расчет………………………………………………………………....13

2.1. Указания к оформлению типового расчета ……………………………...13

2.2. Типовые задания …………………………………………………………..14

Темы для контроля……………………………………………………………...34

3. Примеры решения задач типовых заданий ……………………………......34

Список литературы ……………………………………………………………....49

1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1.1. Производная функции одной переменной

1.1.1. Определение производной

Пусть функция определена на интервале и задано число . Придадим приращение так, чтобы . Приращение аргумента вызовет приращение функции .

Предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента при называется производной функции в точке и обозначается , т. е.

.

При этом сама функция называется дифференцируемой в точке .

Функция называется дифференцируемой на интервале , если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Для обозначения производной также используются следующие символы: .

1.1.2. Основные правила дифференцирования

Пусть С – произвольная постоянная, и – дифференцируемые функции на интервале , тогда:

1. ; 3. ;

2. ; 4. , .

Пусть сложная функция определена на области D.

Если функция имеет производную в точке  D, а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке , которая находится по формуле:

.

1.1.3. Таблица производных основных элементарных функций

1. , C = const;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. .

1.1.4. Производная параметрически заданной функции

Параметрически заданной функцией называется функция, у которой зависимость переменной у от переменной задана через вспомогательную переменную в виде

,

где переменная – называется параметром.

Производная функции, заданной параметрически, находится по формуле:

.

1.1.5. Дифференцирование показательно – степенной функции

Функцию вида , , , где и основание , и показатель являются функциями аргумента , называют показательно–степенной функцией.

При нахождении производной показательно–степенной функции удобно применять метод логарифмического дифференцирования.

Логарифмируя функцию по основанию e, получаем

 .

Дифференцируем обе части последнего равенства по :

 .

Выражаем и подставляем функцию : .

1.1.6. Производные второго и более высоких порядков

Пусть функция дифференцируема на некотором отрезке . Производная, если она существует, от первой производной называется производной второго порядка или второй производной от первоначальной функции и обозначается символом

или : .

Производная, если она существует, от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной от первоначальной функции и обозначается

.

Аналогичным образом могут быть вычислены производные более высоких порядков. Производной n-го порядка, если она существует, от функции называется производная от производной  - го порядка и обозначается символом

.

1.2. Приложения дифференциального исчисления функции одной переменной

1.2.1. Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ролля. Если функция непрерывна на , дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах и обращается в нуль (т. е. ), то внутри отрезка существует, по крайней мере, одна точка , , в которой производная .

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка найдется, по крайней мере, одна точка , , что

.

Теорема Коши. Если и – две функции, непрерывные на отрезке и дифференцируемые внутри него, причем нигде не обращается в нуль внутри этого отрезка, то внутри отрезка найдется такая точка , , что

.