§6. Використання властивостей модуля до
розв’язування нестандартних завдань.
Приклад 1.
Розв’язати систему рівнянь:
Розв’язання
Враховуючи,
що
та використовуючи геометричний зміст
модуля, випливає, що
для всіх х та у. Отже, рівність виконується
при
Тоді з другого рівняння системи отримуємо
х=0.
Відповідь: (0; 0).
Приклад 2.
Розв’язати рівняння:
Розв’язання
Використовуємо
властивість:
якщо
Тоді рівняння рівносильне системі:
Оскільки
для всіх х, то
при
оскільки n
– ціле,
то n=0, 1, 2, 3,… Звідки
Отже, система набуває вигляду:
Відповідь: 9.
Приклад 3.
Розв’язати рівняння:
Розв’язання
Використовуючи геометричний зміст модуля, маємо:
Отже,
якщо
то рівняння набуває вигляду:
Якщо
то маємо:
тобто
що не задовольняє умову
Відповідь:
Приклад 4.
Розв’язати систему рівнянь:
Розв’язання
За
властивістю
із першого рівняння системи маємо:
Додавши
почленно ці нерівності, отримаємо:
Оскільки
за умовою
то
(
отримаємо з другої нерівності системи),
тобто
Додамо до обох частин останньої нерівності
і отримаємо:
Отже,
квадратний тричлен
набуває тільки значення, яке дорівнює
0.
отже,
Із
другого рівняння системи, враховуючи,
що
маємо:
Якщо
то
якщо
то
Відповідь:
Приклад 5.
Розв’язати рівняння:
Розв’язання
ОДЗ:
Оскільки
то вихідне рівняння можна записати у
вигляді
тоді
причому рівність отримуємо при
Відповідь:
Приклад 6.
Розв’язати рівняння:
Розв’язання
Очевидно,
що
при довільному х. Для оцінки лівої
частини рівняння застосуємо властивість
Отримаємо:
Таким чином, вихідне рівняння рівносильне системі:
Відповідь:
Приклад 7.
Розв’язати нерівність:
Розв’язання
Отримаємо рівносильну нерівність, якщо кожний множник замінимо за властивістю:
замінимо
на
замінимо
на
замінимо
на
Тоді вихідна нерівність набуває вигляду:
розв’язками
якої є:
Відповідь:
Приклад 8.
Розв’язати нерівність:
Розв’язання
Нехай
тоді
Отже нерівність набуває вигляду:
При
маємо
Розв’язки цієї нерівності з урахуванням
умови
звідки
тоді
При
маємо:
тобто
Оскільки
для будь-яких t,
то
що не задовольняє умову
Відповідь:
Приклад 9.
Розв’язати рівняння:
Розв’язання
Областю
визначення даного рівняння є:
Використавши означення модуля, перетворимо дане рівняння у дві системи.
1)
2)
Відповідь:
Приклад 10.
Розв’язати рівняння:
Розв’язання
Областю визначення даного рівняння є :
1) Якщо
то рівняння не має розв’язку.
2) Якщо
Якщо
то отримана система не має змісту.
Якщо
Якщо
Відповідь:
Приклад 11.
Розв’язати рівняння:
Розв’язання
Відповідь:
Завдання для самостійного розв’язання.
1. Розв’язати рівняння:
Відповідь:
2. Розв’язати рівняння:
Відповідь:
3. Розв’язати рівняння:
Відповідь:
4. Розв’язати нерівність:
Відповідь:
5. Розв’язати нерівність:
Відповідь:
6. Розв’язати систему рівнянь:
Відповідь:
