§5. Системи рівнянь що містять абсолютну
величину і параметри.
Приклад 1.
Розв’язати систему рівнянь:
Розв’язання
Якщо
то отримаємо систему:
Якщо
то
Якщо
то
Якщо
то
Кожні із чотирьох розв’язків задовольняють записані умови.
Відповідь: (2; 1); (0; -3); (-6; 9); (0; -3).
Приклад 2.
В області дійсних чисел розв’язати систему рівнянь:
Розв’язання
Якщо
то отримаємо систему:
яка при
має розв’язки:
за умови
Якщо
то
Із умови
знаходимо
а з другої умови:
Обидві
нерівності відповідають умові:
Якщо ж
то:
Підставляючи
знайдені значення х і у в умови, отримаємо:
На
кінець, якщо
то отримаємо:
Це
означає, що при
так як
але
то
Отже
отримуємо при
Відповідь:
при
при
при
при
Приклад 3.
При яких значеннях а система має дійсні розв’язки. Знайти ці розв’язки.
Розв’язання
Рівняння
при
не має розв’язків. Якщо
то
геометричною інтерпретацією цього
рівняння є коло радіуса
з центром в початку координат. Друге
рівняння визначає сторони квадрата,
діагоналі якого рівні 2 і розміщені на
осях координат.
При збільшенні а коло буде збільшуватися і спочатку буде вписаним в квадрат, потім перетне його в восьми точках і, буде описаним навколо квадрата.
Отже,
якщо
то система не має розв’язків.
Якщо
отримаємо
чотири розв’язки:
і три симетричних розв’язки:
Якщо
то маємо вісім розв’язків. Ми знайдемо
їх піднісши перше рівняння до квадрату
і отримавши за допомогою другого рівняння
В результаті отримаємо систему рівнянь:
До цих розв’язків потрібно додати ще шість симетричних.
Якщо
то система має чотири розв’язки:
При
система
не має розв’язків.
Приклад 4.
Знайти
всі значення
при яких система має один розв’язок:
(
дійсні
числа)
Розв’язання
Нехай
- розв’язок системи. Тоді друге рівняння
задовольняє ще три пари змінних:
Легко переконатися, що перше рівняння
поряд з розв’язком
має також розв’язком і
:
Таким
чином система може мати один розв’язок
лише при умові, що
Підставимо це значення у в систему, отримаємо а=0.
Вияснимо,
чи достатньо умови а=0 для існування
єдиного розв’язку даної системи рівнянь.
Якщо а=0,то
а це означає, що або х=1, у – будь-яке
число, або
-
будь-яке число,у=0. Значення параметра
повинні бути такими, щоб друге рівняння
системи задовольняв тільки один з
розв’язків першого рівняння системи.
Якщо
у=0, то друге рівняння має єдиний розв’язок
(
за умовою
при будь-якому
Тому
потрібно вибирати таким, щоб виключити
випадок х=1, тобто таким, щоб рівняння
не мало дійсних розв’язків. Для цього
необхідно і достатньо виконання умови
Якщо
х=1, то друге рівняння має єдиний розв’язок
тільки в тому випадку, коли
При цьому його задовольняє один із
розв’язків першого рівняння системи:
х=1, у=0.
Відповідь:
Приклад 5.
При яких значеннях а система рівнянь має два розв’язки:
Розв’язання
Зауважимо,
що якщо пара
є розв’язком даної системи, то пари
- також є розв’язками системи. Звідси
випливає, що якщо система має два
розв’язки, то вони мають вигляд
.
Отже, умова
є необхідною (але не достатньою) умовою існування у даної системи двох розв’язків. З цьому випадку маємо систему:
Розв’язавши вихідну систему при а=8, переконаємося, що вона дійсно має два розв’язки, а саме: (2; 2) , (-2; -2).
Відповідь: а=8.
Завдання для самостійного розв’язання
1.Скільки коренів має рівняння залежно від значень параметра а?
а)
б)
в)
г)
д)
2. При яких значеннях а рівняння не мають розв’язків:
а)
б)
в)
3. При яких значеннях а рівняння мають єдиний розв’язок:
а)
б)
в)
4. При яких значеннях а рівняння мають три різні корені:
а)
б)
в)
