§4. Рівняння і нерівності з параметрами, що

містять знак абсолютної величини.

Приклад 1.

При яких значеннях параметра а серед коренів рівняння є лише один додатній корінь?

Розв’язання

При а< дане рівняння розв’язків не має, оскільки ліва частина рівняння набуває невід’ємних значень.

Нехай а . Тоді дане рівняння рівносильне сукупності

Перше рівняння має два розв’язки причому Знайдемо а при яких . Маємо:

Друге рівняння сукупності при а>1 розв’язків не має.

Отже, при дане рівняння має один додатній корінь.

Нехай В цьому випадку - корені другого рівняння сукупності. Оскільки то рівняння буде мати один додатній корінь, якщо Маємо:

Тоді

Відповідь:

Приклад 2.

Скільки розв’язків має рівняння

Розв’язання.

Застосуємо графічний метод перерізів. Для цього побудуємо графіки функцій:

Зрозуміло, що рівняння буде мати стільки розв’язків, скільки спільних точок мають графіки функцій. При або горизонтальна пряма y=a не має спільних точок з графіком функції f(x). В цьому випадку рівняння має порожню множину розв’язків. При 0<a<1 графіки мають дві спільні точки А і В, тобто рівняння має два розв’язки. Нарешті, якщо а=1, то рівняння має безліч розв’язків

Відповідь: порожня множина, якщо

два корені, якщо

безліч коренів, якщо а=1.

Приклад 3.

Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання

Дане рівняння рівносильне системі

Оскільки то Тоді Крім того

Отже ліва частина рівняння є сумою двох невід’ємних доданків Рівність можлива, якщо тобто при х=1 і а=-1. Перевірка показує, що значення х=1 при а=-1 задовольняє дане рівняння.

Відповідь: х=1, якщо а=-1; х , якщо а -1.

Приклад 4.

Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання

Запишемо рівняння у вигляді

і

Отже, дане рівняння обертається в тотожність, як тільки виконується система нерівностей

При а=0 система не має розв’язків. Нехай а 0. Порівнявши між собою числа -2, а, і та врахувавши, що розв’язок нерівності ах 1 залежить від знаку а, дістанемо такі розв’язки рівняння:

1. а , тоді х а;

2. тоді х

3. тоді рівняння не має розв’язків;

4. тоді

5. тоді

Приклад 5.

Скільки розв’язків має рівняння залежно від параметра а:

?

Розв’язання

Запишемо ліву частину рівняння у вигляді:

І побудуємо її графік. Пряма у=а і графік функції f(x) мають:

1) одну спільну точку, якщо а<-2 або ;

2)дві спільні точки, якщо 0<a<4;

3)не мають спільних точок, якщо

Відповідь: не має розв’язків, якщо

один корінь, якщо а<-2 або

два корені, якщо

Приклад 6. Знайти дійсні розв’язки рівняння і визначити при яких значеннях а воно має єдиний дійсний розв’язок:

Розв’язання

Розглянемо два випадки.

Якщо то отримаємо рівняння:

Виконується при Більше двох цей корінь бути не може.

Для потрібно розв’язати дві нерівності:

Перша нерівність виконується при

а друга при

Розглянемо другий випадок, нехай:

Дане рівняння стає лінійним і ми знайдемо

Розв’яжемо нерівність:

Отже при корені співпадають, а корінь не існує, тобто рівняння має єдиний розв’язок

Якщо то рівняння має два різні розв’язки якщо то якщо ж то два розв’язки

Корені різні, так як лежить поза цим інтервалом.

Відповідь: